Сборник задач по стереометрии с методами решений, Литвиненко В.Н., 1998

Сборник задач по стереометрии с методами решений, Литвиненко В.Н., 1998.
   Автор доступно, на высоком методическом уровне дает систему задач курса стереометрии средней школы, позволяющую овладеть техникой решения задач на построение и вычислительных задач. Первую часть сборника составляют задачи для самостоятельного решения (их свыше 2000). Вторая часть - это необходимый справочный материал, методические рекомендации и решение типовых задач, это позволяет использовать сборник и как самоучитель. Наряду с решением задач традиционными методами, активно используются координатный и векторно-координатный методы. Почти все задачи трехвариантные, с нарастающим уровнем трудности. Книга может оказать помощь как учащимся, так и учителям старших классов общеобразовательных учреждений.
   Предлагаемый вашему вниманию сборник включает в себя задачи, для решения которых вполне достаточно знания материала школьного курса стереометрии. Более того, задачи сборника расположены практически в той же последовательности, в которой изучается теоретический материал стереометрии. Тем не менее этот сборник не совсем обычен. Особенности его состоят коротко в следующем:
1. В нем выделены в отдельные главы и параграфы задачи на построение в пространстве. При решении задач на построение предполагается активное использование аппарата параллельного проектирования, что осуществляется применением вычислительного способа и способа выносных чертежей.
2. В сборнике отводится значительно большее место координатным, а также векторно-координатным способам решения задач (и, в частности, задач на построение).
3. Большинство задач сборника являются оригинальными (они составлялись специально для этого сборника). Предпочтение при их отборе для этой книги отдавалось задачам, интересным прежде всего с геометрической точки зрения. Способы решения новых задач, вполне возможно, не столь хорошо известны читателю. Учитывая эту особенность задач сборника, автор включил в него, кроме задач для самостоятельного решения, также краткий справочный материал и решение типовых задач. (Более обстоятельное решение типовых задач автор излагает в другой книге издательства «Просвещение» «Решение типовых задач по геометрии».)
Оглавление
К читателю
Глава I. Модели пространственных фигур. Позиционные построения
§ 1. Модели пространственных фигур 4
§ 2. Построение следов плоскостей 14
§ 3. Построение сечений многогранников (аксиоматический метод) 15
§ 4. Построение параллельных прямых и параллельных плоскостей 21
1. Построение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой 21
2. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости 22
§ 5. Построение сечений многогранников (комбинированный метод) 24
1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой —
2. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым 26
§ 6. Построение пересечения заданных плоскостей и прямых 27
1. Построение линии пересечения заданных плоскостей —
2. Построение точки пересечения заданной прямой с заданной плоскостью 28
Глава II. Метрические построения
§ 7. Выносные чертежи 30
§ 8. Построения на изображениях плоских фигур 31
§ 9. Построения на изображениях пространственных фигур 33
1. Построение прямой, перпендикулярной заданной прямой —
2. Построение прямой, перпендикулярной заданной плоскости 34
3. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости 36
4. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой 39
§ 10. Развертки многогранников 41
1. Развертки отсеченных многогранников —
2. Развертки многогранников с вырезами 45
Глава III. Вычисление расстояний и углов
§11. Расстояние между точками 52
§ 12. Расстояние от точки до прямой 55
§ 13. Расстояние от точки до плоскости 57
§ 14. Расстояние между скрещивающимися прямыми 58
§ 15. Угол между скрещивающимися прямыми 60
§ 16. Угол между прямой и плоскостью 61
§ 17. Угол между плоскостями 63
§ 18. Двугранный и многогранный углы 64
Глава IV. Координатный метод решения задач
§ 19. Прямоугольная система координат 67
§ 20. Применение метода координат к решению задач 69
1. Расстояние между точками —
2. Расстояние от точки до прямой 70
3. Площадь треугольника 71
Глава V. Векторы
§ 21. Сумма и разность векторов. Коллинеарность и равенство векторов 72
§ 22. Координаты вектора. Координаты суммы и разности векторов. Координатное выражение коллинеарности и равенства векторов. Длина вектора 73
§ 23. Скалярное произведение векторов в координатах 75
§ 24. Уравнение плоскости 76
Глава VI. Векторно-координатные способы решения задач на построение
§ 25. Построение прямой, параллельной заданной прямой 79
§ 26. Построение прямой, перпендикулярной заданной плоскости 80
§ 27. Построение сечений многогранников 81
1. Построение сечения плоскостью, заданной уравнением —
2. Построение сечения, проходящего через заданную точку перпендикулярно заданной прямой 83
3. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым, и сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой 84
4. Построение сечения, проходящего через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости 86
5. Построение разверток отсеченных многогранников 87
Глава VII. Векторно-координатные методы решения задач на вычисление
§ 28. Расстояние между точками 91
§ 29. Расстояние от точки до плоскости 92
§ 30. Угол между скрещивающимися прямыми 93
§ 31. Угол между прямой и плоскостью 95
§ 32. Угол между плоскостями 98
Глава VIII. Вычисление площадей и объемов
§ 33. Площади сечений 101
§ 34. Объемы 105
§ 35. Площади поверхностей 113
Глава IX. Комбинации геометрических фигур
§ 36. Комбинации с описанными сферами 118
§ 37. Комбинации со вписанными сферами 119
§ 38. Разные комбинации геометрических фигур 121
Справочный материал, примеры 129
Приложение —
Ответы 130