Сборник задач по математике для ВУЗов - Часть 4 - Ефимова А.В. Поспелова А.С.

Название: Сборник задач по математике для ВУЗов - Часть 4.
Автор: Ефимова А.В., Поспелова А.С.
2003.
    Содержит задачи по специальным курсам математики: теории вероятностей и математической статистике. Во всех разделах приводятся необходимые теоретические сведения. Все задачи снабжены ответами, а наиболее сложные - решениями.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие титульных редакторов. 5
Глава 18. Теория вероятностей. 7
§ 1. Случайные события. 7
1. Понятие случайного события. 2. Алгебраические операции над событиями. 3. Аксиоматическое определение вероятности события. 4. Классическая вероятностная схема - схема урн. 5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме, б. Геометрические вероятности. 7. Условные вероятности. Независимость событий. 8. Вероятности сложных событий. 9. Формула полной вероятности. 10. Формула Байеса
§ 2. Случайные величины. 56
1. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин. 2. Распределения, связанные с повторными независимыми испытаниями. 3. Распределение Пуассона. 4. Нормальный закон распределения
§ 3. Случайные векторы. 85
1. Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов. 2. Нормальный закон на плоскости
§ 4. Функции случайных величин. 106
1. Числовые характеристики функций случайных величин. 2. Характеристические функции случайных величин. 3. Законы распределения функций случайной величины. 4. Задача композиции
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей. 130
1. Закон больших чисел. 2. Предельные теоремы теории вероятностей. 3. Метод статистических испытаний
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория). 143
1. Законы распределения и осредненные характеристики случайных функций. 2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций. 3. Стационарные случайные функции. 4. Спектральное разложение стационарных случайных функций. 5. Преобразование стационарных случайных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами.
Глава 19. Математическая статистика. 185
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений. 185
1. Выборка и способы ее представления. 2. Числовые характеристики выборочного распределения. 3. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора.
§ 2. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке. 218
1. Точечные оценки и их свойства. Метод подстановки. 2. Метод максимального правдоподобия. 3. Метод моментов. 4. Распределения х2) Стьюдента и Фишера.
§ 3. Интервальные оценки. 237
1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли и параметра А распределения Пуассона. 3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р
§ 4. Проверка статистических гипотез. 247
1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения. 3. Проверка гипотез о коэффициенте корреляции р. 4. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез.
§ 5. Одно факторный дисперсионный анализ. 279
§ 6. Критерий х2 и его применение. 286
1. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. 2. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин. 3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений
§ 7. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов. 298
1. Линейная регрессия. 2. Линейная регрессионная модель общего вида (криволинейная регрессия). 3. Использование ортогональных систем функций. 4. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям. 5. Множественная линейная регрессия (случай двух независимых переменных), б Вычисление и статистический анализ оценок параметров линейной модели при коррелированных и неравноточных наблюдениях.
§ 8. Непараметрические методы математической статистики. 339
1. Основные понятия. Критерий знаков. 2. Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни. 3. Критерий для проверки гипотезы Но о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. 4. Критерий серий 5. Ранговая корреляция
Ответы и указания. 358
Приложения. 411
Список литературы.
5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме. Решение вероятностных задач на классическую схему часто облегчается использованием комбинаторных формул. Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу т элементов из п различных элементов исходного множества Е - {ех, в2, ..., еп}. При этом в постановке каждого такого опыта строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками.
Существуют две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по одному Элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества). Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После того как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различные постановки эксперимента по выбору наудачу т элементов из общего числа п различных элементов множества Е.