Сборник задач по математике для ВУЗов - Часть 3 - Ефимова А.В. Поспелова А.С.

Название: Сборник задач по математике для ВУЗов - Часть 3.
Автор: Ефимова А.В., Поспелова А.С.
2002.
   Содержит задачи по специальным разделам математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах. Сюда включены такие разделы, как векторный анализ, ряды и их применение, элементы теории функций комплексной переменной, операционное исчисление, интегральные уравнения, уравнения в частных производных, а также методы оптимизации.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ. 7
ОТ АВТОРОВ 8
Глава 11. Векторный анализ. 9
§ 1. Скалярные и векторные поля. Градиент. 9
1. Геометрические характеристики скалярных и векторных полей. 2. Производная по направлению и градиент скалярного поля
§ 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 13
1. Криволинейный интеграл 1-го рода. 2. Поверхностный интеграл 1-го рода. 3. Криволинейный интеграл 2-го рода. 4. Поверхностный интеграл 2-го рода
§ 3. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных полей 28
1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса-Остроградского. 2. Вихрь векторного поля. Теорема Стокса. 3. Оператор Гамильтона и его применение. 4. Дифференциальные операции 2-го порядка
§ 4. Специальные виды векторных полей. 35
1. Потенциальное векторное поле. 2. Соленоидальное поле. 3. Лапласово (или гармоническое) поле
§ 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 41
1. Криволинейные координаты. Основные соотношения. 2. Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. 3. Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля
Глава 12. Ряды и их применение. 47
§ 1. Числовые ряды. 47
1. Сходимость ряда. Критерий Коши. 2. Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости. 3. Признаки условной сходимости
§ 2. Функциональные ряды 61
1. Область сходимости функционального ряда. 2. Равномерная сходимость. 3. Свойства равномерно сходящихся рядов
§ 3. Степенные ряды. 68
1. Область сходимости и свойства степенных рядов. 2. Разложение функций в ряд Тейлора. 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение
§ 4. Применение степенных рядов. 80
1. Вычисление значений функций. 2. Интегрирование функций. 3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости. 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 5. Уравнение и функции Бесселя
§ 5. Ряды Лорана. 93
1. Ряды Лорана. Теорема Лорана. 2. Характер изолированных особых точек
§ 6. Вычеты и их применение 100
1. Вычет функции и его вычисление. 2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов. 3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. 4. Принцип аргумента
§ 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. 111
1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. 2. Двойные ряды Фурье. 3. Интеграл Фурье. 4. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье. 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Глава 13. Теория функций комплексной переменной. 125
§ 1. Элементарные функции. 125
1. Понятие функции комплексной переменной. 2. Основные элементарные функции комплексной переменной. 3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
§ 2. Аналитические функции. Условия Коши-Римана. 134
1. Производная. Аналитичность функции. 2. Свойства аналитических функций
§ 3. Конформные отображения. 140
1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. 2. Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функции. 3. Степенная функция. 4. Функция Жуковского. 5. Показательная функция. 6. Тригонометрические и гиперболические функции.
§ 4. Интеграл от функции комплексной переменной. 152
1. Интеграл по кривой и его вычисление. 2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
Глава 14. Операционное исчисление. 163
§ 1. Преобразование Лапласа. 163
1. Определение и свойства преобразования Лапласа. 2. Расширение класса оригиналов
§ 2. Восстановление оригинала па изображению. 172
1. Элементарный метод. 2. Формула обращения. Теоремы разложения
§ 3. Применения операционного исчисления 179
1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами. 2. Решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. 3. Интегрирование линейных уравнений в частных производных. 4. Вычисление несобственных интегралов. 5. Суммирование рядов. 6. Применение операционного исчисления при расчете электрических цепей
§ 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение. 198
1. Z-преобразование и дискретное преобразование Лапласа. 2. Решение разностных уравнений
Глава 15. Интегральные уравнения. 210
§1. Интегральные уравнения Вольтерра. 210
1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные понятия, связь с дифференциальными уравнениями. 2. Метод последовательных приближений. Решение с помощью резольвенты. 3. Уравнения Вольтерра 2-го рода типа свертки. 4. Уравнения Вольтерра 1-го рода
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма 232
1. Основные понятия. Метод последовательных приближений и резольвента для уравнений Фредгольма 2-го рода. 2. Решение уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. 3. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фредгольма. 4. Уравнения Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром
§ 3. Численные методы решения интегральных уравнений 259
Глава 16. Уравнения в частных производных. 267
§ 1. Основные задачи и уравнения математической физики . 267
1. Вывод уравнений и постановка задач математической физики. 2. Приведение уравнений к каноническому виду
§ 2. Аналитические методы решения уравнений математической физики 275
1. Метод Даламбера. 2. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы. 3. Ортогональные ряды. 4. Метод Фурье решения уравнений математической физики
§ 3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 301
1. Основные понятия метода сеток. 2. Численное решение краевых задач методом сеток
Глава 17. Методы оптимизации. 323
§ 1. Численные методы минимизации функций одной переменной. 323
1. Основные понятия. Прямые методы минимизации. 2. Методы минимизации, основанные на использовании производных функции
§ 2. Безусловная минимизация функций многих переменных. 340
1. Выпуклые множества и выпуклые функции. 2. Методы безусловной минимизации, основанные на вычислении первых производных функции. 3. Методы безусловной минимизации, использующие вторые производные функции.
§ 3. Линейное программирование. 353
1. Постановки задач линейного программирования. Графический метод решения. 2. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. 3. Целочисленное линейное программирование
§ 4. Нелинейное программирование. 386
1. Задачи, сводящиеся к линейному программированию. 2. Методы возможных направлений. 3. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования. 4. Методы штрафных и барьерных функций
§ 5. Дискретное динамическое программирование. 419
§ 6. Вариационное исчисление. 435
1. Предварительные сведения. Простейшая задача вариационного исчисления. 2. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. 3. Задачи с подвижными границами. 4. Задачи на условный экстремум. 5. Прямые методы вариационного исчисления
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ. 467
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
Поверхностный интеграл 2-го рода.
Гладкая поверхность G в трехмерном пространстве называется двусторонней если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности G и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к поверхности, называется ориентацией поверхности.
Поверхностный интеграл 2-го рода называют также потоком векторного поля а(Р) через поверхность G. Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность G. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла 2-го рода.
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода