Сборник задач по математике для ВУЗов - Часть 2 - Ефимова А.В. Поспелова А.С.

Название: Сборник задач по математике для ВУЗзов - Часть 2.
Автор: Ефимова А.В., Поспелова А.С.
2001.
    Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ б
Глава 5. Введение в анализ. 7
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика. 7
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика
§ 2. Функции действительной переменной. 17
1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики
§ 3. Предел последовательности действительных чисел. 25 1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности.
§ 4. Предел функции. Непрерывность. 28
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность
§ 5. Комплексные числа. 39
1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел последовательности комплексных чисел
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 51
§ 1. Производная. 51
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геометрические и механические приложения производной
§ 2. Дифференциал. 72
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших порядков
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора. 77
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Формула Тейлора
§ 4. Исследование функций и построение графиков. 86
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение графиков функций.
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной. 99
1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых, б. Комплексные функции действительной переменной.
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной. 115
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла. 115
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования по частям
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций. 126
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование. 142
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления. 144
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегрирование по частям.
§ 5. Несобственные интегралы. 156
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от неограниченных функций
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла. 162
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения. 4. Объем тела
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 177
1. Моменты и центры масс плоских кривых. 2. Физические задачи.
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 185
§ 1. Основные понятия. 185
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и его применение.
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций. 199
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
§ 3. Приложения частных производных. 214
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных
§ 4. Приближенные числа и действия над ними. 230
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над приближенными числами
Глава 9. Кратные интегралы. 236
§ 1. Двойной интеграл. 236
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойных интегралов
§ 2. Тройной интеграл. 254
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в тройном интеграле. 3. Приложения тройных интегралов.
§ 3. Несобственные кратные интегралы. 263
1. Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра. 267
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 10. Дифференциальные уравнения. 276
§ 1. Уравнения 1-го порядка. 276
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин). 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные уравнения, б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. 11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка.
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. 304
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, б. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физического характера.
§ 3. Системы дифференциальных уравнений. 331
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями п-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы.
§ 4. Элементы теории устойчивости. 349
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближению.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ.
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).
Примеры:
5.346. Доказать, что предел функции у = f(x) во внутренней точке Xо области ее определения существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы и они совпадают.
5.407.  Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень.