Сборник задач по математике для втузов, Часть 2, Ефимова А.В., Поспелова А.С., 2001

Сборник задач по математике для втузов, Часть 2, Ефимова А.В., Поспелова А.С., 2001.
 
   Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

Примеры.
Доказать, что предел функции у = f(x) во внутренней точке x0 области ее определения существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы и они совпадают.
Составить уравнение такой нормали к параболе у = х2 - 6x + 6, которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
В точках пересечения прямой х - у + 1 = 0 и параболы у = х2 - 4х + 5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ б
Глава 5. Введение в анализ 7
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 7
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика
§ 2. Функции действительной переменной 17
1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики
§ 3. Предел последовательности действительных чисел 25
1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности
§ 4. Предел функции. Непрерывность 28
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность
§ 5. Комплексные числа 39
1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел последовательности комплексных чисел
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 51
§ 1. Производная 51
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных не¬явно или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геометрические и механические приложения производной
§ 2. Дифференциал 72
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших порядков
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 77
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Формула Тейлора
§ 4. Исследование функций и построение графиков 86
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение графиков функций
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной 99
1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых, б. Комплексные функции действительной переменной
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования по частям
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 126
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование 142
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 144
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегрирование по частям
§ 5. Несобственные интегралы 156
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от неограниченных функций
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла 162
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения. 4. Объем тела
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 177
1. Моменты и центры масс плоских кривых. 2. Физические задачи
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 185
§ 1. Основные понятия 185
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и его применение
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 199
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях
§ 3. Приложения частных производных 214
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных
§ 4. Приближенные числа и действия над ними 230
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над приближенными числами
Глава 9. Кратные интегралы 236
§ 1. Двойной интеграл 236
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойных интегралов
§ 2. Тройной интеграл 254
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в тройном интеграле. 3. Приложения тройных интегралов
§ 3. Несобственные кратные интегралы 263
1. Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 267
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 10. Дифференциальные уравнения 276
§ 1. Уравнения 1-го порядка 276
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин). 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные уравнения, б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. 11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 304
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, б. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физического характера
§ 3. Системы дифференциальных уравнений 331
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями n-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы
§ 4. Элементы теории устойчивости 349
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближению
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 358.