Сборник задач по математике, Богомолов, 2009

Сборник задач по математике, Богомолов Н.В., 2009.
    В пособии представлены задачи по основным разделам математики: алгебре, началам анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, аналитической геометрии на плоскости, стереометрии, а также элементам комбинаторики и теории вероятностей. Выделены упражнения и задачи повышенной сложности и для повторения за курс девятилетней школы. Приводится справочный теоретический материал. Издание является одной из книг учебного комплекта, в который также входят учебник «Математика» Н. В. Богомолова, П.И. Самойленко (М.: Дрофа, 2002. — 400 с.) и «Сборник дидактических заданий по математике» Н.В. Богомолова и Л.Ю. Сергиенко.
Для студентов техникумов гуманитарных направлений, педагогических, финансово-экономических, технических, строительных, сельскохозяйственных. Может быть использован школьниками старших классов общеобразовательных школ и слушателями курсов по подготовке в ВУЗы.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается в следующем виде:
F(x, у, у') = 0,
F(x, у, у") = 0,
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ 1. АЛГЕБРАМ НАЧАЛА АНАЛИЗА
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Действия над действительными и комплексными числами 4
§ 2. Действия над приближенными числами. Абсолютная и относительная погрешности 6
§ 3. Линейные уравнения с одной переменной 8
§ 4. Линейные неравенства 9
§ 5. Системы линейных уравнений 11
§ 6. Квадратные уравнения 12
§ 7. Квадратные неравенства 15
§ 8. Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства 16
§ 9. Нелинейные системы уравнений с двумя переменными 17
ГЛАВА 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ
§ 10. Логарифмическая функция 19
§ 11. Показательные уравнения и системы показательных уравнений. Показательные неравенства 20
§ 12. Логарифмические уравнения и системы логарифмических уравнений. Логарифмические неравенства 22
ГЛАВА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 13. Векторы на плоскости 23
§ 14. Радианное измерение дуг и углов 24
§ 15. Числовые значения и знаки тригонометрических функций 25
§ 16. Вычисление значений тригонометрических функций по данному значению одной из них 26
§ 17. Основные тригонометрические тождества. Доказательства тождеств 27
§ 18. Периодичность тригонометрических функций 28
§ 19. Формулы приведения 30
§ 20. Обратные тригонометрические функции 31
§ 21. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства 32
§ 22. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения) 35
§ 23. Тригонометрические функции удвоенного аргумента (формулы удвоения) 36
§ 24. Тригонометрические функции половинного аргумента (формулы деления) 38
§ 25. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму 40
§ 26. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение 41
ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ
§ 27. Предел функции 43
§ 28. Производная степени и корня 45
§ 29. Производная сложной функции (функции от функции) 46
§ 30. Геометрические приложения производной 47
§ 31. Физические приложения производной 48
§ 32. Производные тригонометрических функций. Производные обратных тригонометрических функций 49
§ 33. Производные логарифмических и показательных функций 50
§ 34. Исследование функций с применением производной 51
§ 35. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям 55
ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЫ
§ 36. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование 57
§ 37. Геометрические и физические приложения неопределенного интеграла 58
§ 38. Вычисление неопределенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) 60
§ 39. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление 62
§ 40. Дифференциальные уравнения 63
ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 41. Элементы комбинаторики 65
§ 42. Элементы теории вероятностей 66
ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 43. Прямая линия 68
§ 44. Окружность 72
§ 45. Эллипс 73
§ 46. Гипербола 74
§ 47. Парабола с вершиной в начале координат 75
§ 48. Парабола со смещенной вершиной 76
ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 49. Прямая и плоскость в пространстве 11
§ 50. Призма и параллелепипед 79
§ 51. Площади поверхностей призмы и параллелепипеда 80
§ 52. Пирамида. Усеченная пирамида 82
§ 53. Площади поверхностей пирамиды и усеченной пирамиды 84
§ 54. Цилиндр 86
§ 55. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра 87
§ 56. Конус. Усеченный конус 88
§ 57. Площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса 89
§ 58. Сфера и шар. Вписанная и описанная сферы. Площади поверхностей сферы и ее частей 90
§ 59. Объемы призмы и параллелепипеда 92
§ 60. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 93
§ 61. Объемы фигур вращения 95
§ 62. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла 97
ЧАСТЬ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ГЛАВА 9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
§ 63. Линейные уравнения с одной переменной и системы линейных уравнений 98
§ 64. Линейные неравенства и системы линейных неравенств 102
§ 65. Решение неравенств методом промежутков (интервалов). Решение неравенств с модулем 104
§ 66. Квадратные уравнения. Уравнения, приводимые к квадратным 104
§ 67. Иррациональные уравнения и неравенства 108
§ 68. Системы уравнений второй и выше степеней 109
§ 69. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 111
ГЛАВА 10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
§ 70. Тригонометрические тождества 115
§ 71. Теоремы сложения. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов 117
§ 72. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение 118
§ 73. Тригонометрические уравнения и тригонометрические неравенства 120
ГЛАВА 11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 74. Прямая линия 122
§ 75. Геометрические места точек на плоскости. Кривые второго порядка 123
ГЛАВА 12. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 76. Приложения производной к исследованию функций 126
§ 77. Физические приложения производной 129
ГЛАВА 13. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78. Геометрические приложения неопределенного интеграла 130
§ 79. Физические приложения неопределенного интеграла 131
§ 80. Определенный интеграл 132
ЧАСТЬ 4. УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ЗА КУРС ДЕВЯТИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
ГЛАВА 14. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
§ 81. Арифметические действия 135
§ 82. Алгебраические действия 137
ГЛАВА 15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ. ДРОБНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
§ 83. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 139
§ 84. Линейные неравенства и системы линейных неравенств с одной переменной 141
§ 85. Действия с дробными показателями и корнями 142
ГЛАВА 16. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. ПРОГРЕССИИ
§ 86. Квадратные уравнения и системы уравнений второй степени с двумя переменными 144
§ 87. Квадратные неравенства 145
§ 88. Прогрессии 146
ЧАСТЬ 5. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ГЛАВА 17. АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
§ 89. Начальные сведения по арифметике 149
§ 90. Периодические десятичные дроби 150
§ 91. Проценты 151
§ 92. Пропорции 151
§ 93. Формулы сокращенного умножения 152
§ 94. Действия со степенями и корнями 153
§ 95. Комплексные числа в алгебраической форме 154
§ 96. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 156
§ 97. Краткие сведения об определителях. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера 159
§ 98. Решение системы трех линейных уравнений стремя переменными методом Гаусса 161
§ 99. Квадратные уравнения и квадратные неравенства 162
§ 100. Прогрессии 163
§ 101. Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства 164
§ 102. Логарифмы. Логарифмические неравенства 165
§ 103. Показательные неравенства 168
§ 104. Элементы комбинаторики 168
ГЛАВА 18. ТРИГОНОМЕТРИЯ
§ 105. Основные тригонометрические тождества 170
§ 106. Формулы приведения 172
§ 107. Обратные тригонометрические функции. Простейшие тригонометрические уравнения 172
§ 108. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов. Формулы удвоенного и половинного аргументов 174
§ 109. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму и алгебраической суммы в произведение 175
ГЛАВА 19. ГЕОМЕТРИЯ
§ 110. Площади многоугольников. Окружность и круг 176
§ 111. Объемы и площади поверхностей геометрических тел 178
ГЛАВА 20. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 112. Прямая на плоскости 181
§ 113. Кривые второго порядка 184
ГЛАВА 21. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 114. Производная 187
§ 115. Исследование функций с применением производной 189
§ 116. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям 192
ГЛАВА 22. ИНТЕГРАЛ
§ 117. Неопределенный интеграл 194
§ 118. Определенный интеграл 197
§ 119. Дифференциальные уравнения 198.