Руководство к решению задач по математическому анализу, Запорожец Г.И., 1966

Руководство к решению задач по математическому анализу, Запорожец Г.И., 1966.
   "Руководство" предназначено для студентов высших технических учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.
В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений; в конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним и необходимыми разъяснениями.
   Предметом математического анализа является изучение переменных величин и зависимостей между ними.
Понятия о функции и о пределе переменной величины составляют основу математического анализа.
Интервалом от а до b называется совокупность всех чисел х9 удовлетворяющих одному из следующих двойных неравенств:
Закрытый интервал 1 называется отрезком и обозначается [а, b]; открытый интервал 2 обозначается (а, b); полуоткрытые интервалы 3 и 4 обозначаются  соответственно  [a, b) и (а, b).
Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения.
Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Она может состоять из одного или нескольких интервалов и из отдельных точек.
Взаимосвязанное изменение переменных называется функциональной зависимостью.
При изучении функциональной зависимости между двумя переменными полагают, что одна из них является независимой переменной, которой можно придавать произвольные значения из области ее изменения, а другая — зависимой от нее. Независимая переменная называется аргументом, а зависимая — функцией.
Н. И. Лобачевскому принадлежит следующее определение понятия функции: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х, из области ее изменения, соответствует определенное значение y.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава 1. Введение в анализ 7
§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение 7
§ 2. Область определения (существования) функции 12
§ 3. Построение графика функции по точкам 14
§ 4. Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции 20
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые н бесконечно большие величины. Предел функции 23
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах 30
§ 7. Вычисление пределов 33
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов 45
§ 9. Сравнение бесконечно малых 46
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции 48
Глава II. Производная и дифференциал функции 57
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение. Непосредственное нахождение производной 57
§ 2. Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций 60
§ 3. Производная сложной функции 63
§ 4. Производные показательных и логарифмических функций 66
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций 67
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование 69
§ 7. Логарифмическое дифференцирование 71
§ 8. Производные высших порядков 73
§ 9. Производные неявной функции 75
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически 78
§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми 79
§ 12. Скорость изменения переменной величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения 85
§ 13. Дифференциал функции 88
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой 90
§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения 93
Глава III. Исследование функций и построение их графиков 95
§ 1. Теорема (формула) Тейлора 95
§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела функции 105
§ 3. Возрастание и убывание функции 110
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции 111
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции 118
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин 121
§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба 127
§ 8. Асимптоты 130
§ 9. Полная схема исследования функций и построение их графика 134
§ 10. Приближенное решение уравнении 144
§ 11. Кривизна плоской кривой 149
Глава IV. Неопределенный интеграл 154
§ I. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования 154
§ 3 Интегрирование посредством замены переменной 161
§ 4. Интегрирование по частям 163
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен 166
§ 6. Интегрирование тригонометрических функций 170
§ 7. Интегрирование рациональных функции 173
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций 178
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций 182
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование 183
Глава V. Определенный интеграл 184
§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом 184
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле 186
§ 3 Схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры 189
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений 191
§ 5. Объем тела сращения 199
§ 6. Длина дуги плоской кривой 202
§ 7. Площадь поверхности вращения 205
§ 8. Физические задачи 209
§ 9. Координаты центра тяжести 223
§ 10. Несобственные интегралы 225
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов 230
Глава VI. Функции многих переменных 236
§ 1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения 236
§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность 239
§ 3. Частные производные функции многих переменных 241
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных 243
§ 5. Дифференцирование сложных функций 246
§ 6. Дифференцированно неявных функции 248
§ 7. Частные производные высших порядков 249
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 252
§ 9. Экстремум функции многих переменных 254
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции 256
Глава VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 261
§ 1. Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием
§ 2. Двойной интеграл и полярных vvoopуниатах 271
§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла 274
§ 4. Вычисление объема тела 277
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции 281
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием 286
§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла 293
§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от линии интегрирования 301
§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных интегралов 307
§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 311
§ 11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам 313
§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов 322
Глава VIII. Элементы теории поля 328
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент 328
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля 333
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля 339
Глава IX. Ряды 342
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 342
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда 347
§ 3. Функциональные ряды 350
§ 4. Ряды Тейлора 354
§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям 358
§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами 365
§ 7. Ряды Фурье 369
§ 8. Интеграл Фурье 382
Глава X. Дифференциальные уравнения 386
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы 386
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 389
§ 3. Однородные уравнения первого порядка 391
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли 393
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах 395
§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 397
§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 400
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших .порядков с постоянными коэффициентами 403
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов 411
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 411
§ 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка 421
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов 427
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений 431
§ 14. Уравнения математической физики 435
Ответы 443