Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, Жесткие и дифференциально - алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, Жесткие и дифференциально - алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999.
Книга известных швейцарских специалистов по численному анализу представляет собою второй том монографии. (Первый написан в соавторстве с Нёрсеттом. Он размещён на сайте режимщиков).
В монографии обсуждаются одно- и многошаговые, явные и неявные методы. Особое внимание уделяется жёстким и алгебро-дифференциальным уравнениям, обсуждаются многочисленные способы определения и обеспечения устойчивости и точности численных алгоритмов.
В книге можно найти описание практически всех методов, используемых при расчётах переходных процессов в электроэнергетике. Но с одной оговоркой: не стала предметом пристального обсуждения специфика методов решения очень больших систем уравнений (тысячи и десятки тысяч).

От редактора перевода.
Из предисловия к первому изданию .
Предисловие ко второму изданию .
Предисловие к русскому изданию .
Глава IV. Жесткие задачи — одношаговые методы
IV.1. Примеры жестких уравнений
Системы, описывающие химические реакции .
Электрические схемы .
Диффузия
«Жесткий» стержень.
Высокочастотные колебания .
Упражнения
IV.2. Анализ устойчивости для явных методов Рунге—Кутты.
Анализ устойчивости для метода Эйлера
Явные методы Рунге—Кутты .
Экстраполяционные методы
Анализ примеров из IV. 1 .
Автоматическое обнаружение жесткости .
Устойчивость управления длиной шага .
ПИ-управление длиной шага.,
Стабилизированные явные методы Рунге—Кутты
Упражнения ,
IV.3. Функция устойчивости неявных методов Рунге—Кутты
Функция устойчивости
А -устойчивость.
L -устойчивость и Л (а)-устойчивость .
Численные результаты
Функции устойчивости порядка
Аппроксимации Паде для показательной функции .
Упражнения .
IV.4. Порядковые звезды
Введение.
Порядок и устойчивость для рациональных аппроксимаций
Устойчивость аппроксимаций Паде.
Сравнение областей устойчивости .
Рациональные аппроксимации с вещественными полюсами
«Сэндвич» с вещественными полюсами .
Аппроксимации с кратным вещественным полюсом
Упражнения .
IV.5. Конструирование неявных методов Рунге—Кутты.
Гауссовы методы .
Методы Радо !А и Радо НА
Методы Лобатто IIIA, IIIB и ШС
W -преобразование .
Конструирование неявных методов Рунге—Кутты .
Функция устойчивости .
Положительные функции
Упражнения
IV.6. Диагонально неявные методы Рунге—Кутты
Условия порядка .
Жестко точные методы ОДНРК .
Функция устойчивости .
Аппроксимации с кратным вещественным полюсом
ис Л(оо)=0
Выбор метода.
Упражнения
IV.7. Методы типа Роэенброха
Вывод метода.
Условия порядка .
Функция устойчивости .
Конструирование методов 4-го порядка
Методы высших порядков
Реализация методов типа Розенброка
«Горб»
Методы с неточной матрицей Якоби (VK-методы)
Упражнения
IV.8. Реализация неявных методов Рунге—Кутты.
Иная запись нелинейной системы
Упрощенные итерации Ньютона
Линейная система
Выбор длины шага
Неявные дифференциальные уравнения .
Программа ОДНРК .
Методы ОНРК
Упражнения
IV.9. Экстраполяционные методы.
Экстраполяция симметричных методов .
Сглаживание
Линейно неявное правило средней точки.
Неявный и линейно неявный метод Эйлера.
Реализация
Упражнения .
IV.10. Численные эксперименты
Использованные программы.
Двенадцать задач-тестов
Обсуждение результатов
Разделение и проекционные методы.
Упражнения .
IV.11. Контрактивность для линейных задач
Евклидовы нормы (теорема 4>он Неймана)
Функция роста погрешности для линейных задач .
Малые нелинейные возмущения.
Контрактивность в нормах
Исследование порогового коэффициента ,
Абсолютно монотонные функции
Упражнения .
IV.12. В устойчивость и контрактивность .
Одностороннее условие Липшица
В -устойчивость и алгебраическая устойчивость
Некоторые алгебраически устойчивые НРК методы .
А N -устойчивость
Приводимые методы Рунге—Кутты
Теорема об эквивалентности для S-неприводимых методов .
Функция роста погрешности.
Вычисление <$в (х) .
Упражнения
IV.13. Положительные квадратурные формулы и В-устойчивые
методы Рунге—Кутты
Квадратурные формулы и соответствующие непрерывные дроби .
Число положительных весов .
Характеристика положительных квадратурных формул
Необходимые условия алгебраической устойчивости
Характеристика алгебраически устойчивых методов
«Эквивалентность» А- и В-устойчивости .
Упражнения
IV.14. Существование и единственность решений НРК .
Существование .
Контрольный пример .
Влияние возмущений и единственность
Вычисление ckq(A~ ) .
Методы с вырожденной матрицей А .
Методы Лобатто IПС.
Упражнения
IV.15. В-сходимость.
Феномен снижения порядка
Локальная погрешность
Распространение погрешности
В-сходимость при переменной длине шага.
В-сходимость влечет алгебраическую устойчивость .
Правило трапеций
Снижение порядка для методов Розенброка .
Упражнения
Глава V. Многошаговые методы для жестких задач
V.I. Устойчивость многошаговых методов
Область устойчивости
Методы Адамса.
Схемы предиктор-корректор .
Методы Нюстрёма
Методы ФДН .
Второй барьер Далквиста
Упражнения
V.2. «Почти» А -устойчивые многошаговые методы
Л (а)-устойчивость и жесткая устойчивость .
Л(о)-устойчивые методы высоких порядков .
Приближение методов низкого порядка методами высокого
порядка .
Теорема о диске
Барьеры точности для линейных многошаговых методов
Упражнения
V.3. Обобщенные многошаговые методы.,
Многошаговые методы Энрайта со второй производной
Методы ФДН со второй производной .
Смешанные многошаговые методы .
Расширенные многошаговые методы Каша.
Многошаговые коллокационные методы .
Методы «типа Радо» .
Упражнения
V.4. Порядковые звезды на поверхностях Римана
Поверхности Римана .
Полюсы характеризуют вычислительные затраты .
Порядок и порядковые звезды .
«Догадка Даниела—Мура»
Методы со «Свойством С» .
Общие линейные методы .
Двойственные порядковые звезды
Упражнения
V.5. Эксперименты с многошаговыми программами
Использованные программы
Упражнения
V.6. Одноопорные методы и G-устойчивость.
Одноопорные (многошаговые) методы
Существование и единственность .
G -устойчивость
Алгебраический критерий
Эквивалентность Л-устойчивости и G -устойчивости
Критерий для положительных функций .
Оценки погрешности одноопорных методов
Сходимость А-устойчивых многошаговых методов
Упражнения
V.7. Сходимость для линейных задач
Разностные уравнения для глобальной погрешности.
Матричная теорема Крайсса .
Некоторые применения матричной теоремы Крайсса
Глобальная погрешность для задачи Протеро-Робинсона.
Сходимость для линейных систем с постоянными коэффициентами
Матричный вариант теоремы фон Неймана
Дискретная формула вариации постоянных .
Упражнения
V.8. Сходимость для нелинейных задач .
Задачи, удовлетворяющие одностороннему условию Липшица .
Метод множителей
Множители и нелинейности .
Дискретная вариация постоянных и возмущения .
Сходимость для нелинейных параболических задач
Упражнения.
V.9. Алгебраическая устойчивость общих линейных методов
G-устойчивость .
Алгебраическая устойчивость .
А N -устойчивость и эквивалентность различных определений
устойчивости .
Многошаговые методы Рунге—Кутты
Упрощающие предположения
Квадратурные формулы
Алгебраически устойчивые методы порядка 2s
сходимость
Упражнения
Глава VI. Сингулярно возмущенные задачи и задачи индекса 1
VIЛ. Решение задач индекса 1
Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля .
Метод е -вложения для задач индекса 1
Метод пространства состояний .
Транзисторный усилитель
Задачи вида Ми'=<р(и)
Сходимость методов Рунге—Кутты
Упражнения
VI.2. Многошаговые методы
Методы для задач индекса 1 .
Сходимость для сингулярно возмущенных задач
Упражнения
VI.3. Эпсилон-разложения для точных решении и для Р К-решении.
Разложение гладкого решения .
Разложения, включающие члены пограничного слоя
Оценка остаточного члена
Разложение решения метода Рунге—Кутты.
Сходимость РК-методов для дифференциально-алгебраических
систем
Существование и единственность решения метода Рунге—Кутты
Влияние возмущений .
Оценка остаточного члена в численном решении.
Численное подтверждение
Возмущение начальных значений
Упражнения
VI.4. Методы Розенброка.
Определение метода
Производные точного решения .
Деревья и элементарные дифференциалы .
Разложение Тейлора для точного решения
Разложение Тейлора для численного решения
Условия порядка .
Сходимость ,
Жестко точные методы Розенброка
Построение RODAS — жестко точного вложенного метода
Несогласованные начальные значения .
Упражнения
VI.5. Эгстраполяционные методы
Дискретизация с помощью линейно неявного метода Эйлера
Возмущенное асимптотическое разложение
Таблица порядков
Разложение погрешности для сингулярно возмущенных задач
Плотная выдача
Упражнения .
VI.6. Квазилинейные задачи
Пример; движущиеся конечные элементы
Задачи индекса один
Численное решение уравнения С(у)у = /(у)
Экстралоляционные методы
Упражнения
Глава VII. Дифференциально-алгебраические задачи
высших индексов.
VII.1. Понятие индекса и различные примеры
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Индекс дифференцирования
Дифференциальные уравнения на многообразиях
Индекс возмущений .
Задачи теории управления
Механические системы
Упражнения .
VII.2. Методы понижения индекса
Понижение индекса дифференцированием
Стабилизация с помощью проекции .
Дифференциальные уравнения с инвариантами
Методы, использующие представления в локальном пространстве состояний
Переопределенные дифференциально-алгебраические
уравнения .
Бесструктурные задачи старших индексов
Упражнения .
VI 1.3. Многошаговые методы для ДАУ индекса 2 .
Существование и единственность численного решения.
Влияние возмущений
Локальная погрешность
Сходимость методов, использующих ФДН
Общие многошаговые методы.
Решение нелинейной системы упрощенным методом Ньютона Упражнения
VII.4. Методы Рунге—Кутты для ДАУ индекса 2
Нелинейная система
Оценка локальной погрешности.
Сходимость для у-компоненты.
Сходимость для г-компоненты .
Кол локационные методы
Сверхсходимость ко л локационных методов .
Проецированные методы Рунге—Кутты
Сводка результатов по сходимости
Упражнения .
VII.5. Условия порядка для ДАУ индекса 2 .
Производные точного решения
Деревья и элементарные дифференциалы Разложение Тейлора для точного решения .
Производные численного решения
Условия порядка
Упрощающие предположения .
Проецированные методы Рунге—Кутты.
Упражнения .
VII.6. Полуявные методы для систем индекса 2 .
Полуявные методы Рунге—Кутты
Экстраполяпионные методы.
блоковые многошаговые методы
Упражнения .
VII.7. Расчет многозвенных механизмов
Описание модели
Подпрограммы на Фортране.
Вычисление согласованных начальных значений .
Численные расчеты .
Жесткая механическая система.
Упражнения .
VI 1.8. Симплектнческие методы для гамнльтоновых систем со связями
Свойства гамильтонова фазового потока
Симплектический метод первого порядка .
SHAKE и RATTLE
Пара Лобатто IIIA-IIIB
Композитные методы
Обратный анализ погрешностей (для ОДУ) .
Обратный анализ погрешностей на многообразиях
Упражнения .
Приложение. Программы на Фортране
Драйвер для программы RADAU5
Подпрограмма RADAU5 .
Подпрограмма RADAUP
Подпрограмма RODAS
Подпрограмма SEULEX .
Задачи, имеющие особую структуру
Использование SOLOUT и плотной выдачи.
Литература .
Указатель обозначении
Предметный указатель
Дополнение. Содержание первого тома
Порядковые звезды.
Порядковые звезды (order stars1)), открытые в поисках лучшего понимания свойств устойчивости аппроксимаций Паде для ez (Ван-нер, Хайрер и Нёрсетт 1978), дали красивый и неожиданный подход ко многим другим результатам: «второму барьеру» Далквиста, предположению Даниела—Мура, наивысшему возможному порядку для аппроксимаций с вещественными полюсами, сравнению областей устойчивости (Йелч и Неванлинна 1981, 1982), ограничениям порядков для гиперболических или параболических разностных схем (например, Изерлес и Странг (1983), Изерлес и Уилльямсон (1983), Йелч (1988)).