Практикум по высшей математике - Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М.

Название: Практикум по высшей математике. 2006.
Автор: Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М.
    В книгу вошли все разделы стандартного курса высшей математики для широкого спектра специальностей высших учебных заведений.
Каждая глава (соответствующий раздел курса) содержит справочный материал, а также основные теоретические положения, необходимые для решения задач. Отличительной особенностью данного издания является большое количество задач с решениями, что позволяет использовать его не только для аудиторных занятий, но и для самостоятельной работы студентов. Задачи представлены по темам, систематизированы по методам решения. Завершают каждую главу наборы заданий для самостоятельного решения, снабженные ответами.
Полнота изложения материала и относительная компактность данного издания позволяют рекомендовать его преподавателям и студентам высших учебных заведений, а также слушателям институтов повышения квалификации, желающим систематизировать свои знания и навыки по этому предмету.
    В настоящее время в нашей стране издается огромное количество учебников и сборников задач, отражающих различные разделы курса высшей математики. Часть из них - рекомендованы Министерством образования Российской Федерации и являются базовыми для студентов соответствующих специальностей. Существует также ряд изданий, в которых наряду с наборами задач содержится справочный материал по различным разделам курса. Между тем, как показывает опыт, значительные трудности у студентов вызывает именно овладение практическими навыками решения задач. Это обусловлено, в значительной степени, тем, что эти издания, в силу своей направленности, не могут содержать достаточное количество примеров, иллюстрирующих те или иные методы решения задач.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. 3
1. Векторная алгебра 5
1.1. Линейные операции над векторами 5
1.2. Линейная комбинация векторов 21
Векторный базис на плоскости и в пространстве 21
Действия над векторами, заданными своими координатами 23
Общая (аффинная) декартова система координат 33
Линейная зависимость. Понятие базиса 39
1.3. Прямоугольная декартова система координат 46
1.4. Скалярное произведение векторов 57
1.5. Векторное произведение векторов 71
1.6. Смешанное произведение векторов 78
2. Аналитическая геометрия 84
2.1. Прямая на плоскости 84
2.2. Плоскость 120
2.3. Прямая и плоскость в пространстве 130
2.4. Полярная система координат 143
2.5. Линии второго порядка 144
Окружность 144
Гипербола 153
Парабола 159
Уравнения кривых второго порядка в смещенной системе координат 163
Алгебраические кривые второго порядка 165
2.6. Канонические поверхности второго порядка 177
3. Линейная алгебра    186
3.1. Определители и матрицы 186
Определители 186
Матрицы 191
3.2. Линейное (векторное) пространство 202
3.3. Системы линейных алгебраических уравнений 205
Правило Крамера 205
Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Калелли 208
Метод Гаусса 212
Однородные линейные алгебраические системы 219
3.4. Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы 231
4. Комплексные числа 237
4.1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел 237
4.2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел 242
4.3. Показательная форма записи комплексных чисел 251
5. Функции одной переменной 255
5.1. Понятие функции одной переменной 255
5.2. Предел числовой последовательности и его свойства 260
Замечательные пределы и их следствия 265
О-символика 266
5.3. Предел функции 269
Замечательные пределы и их следствия 276
Эквивалентные бесконечно малые функции 276
5.4. Непрерывность функции в точке и на промежутке 282
5.5. Производная и дифференциал 286
Производная функции, заданной явно 286
Производные функций, заданных параметрически и неявно 293
Производные и дифференциалы высших порядков 295
5.6. Приложения производных и дифференциалов 304
Геометрический смысл производной и дифференциала 304
Физический смысл производной и дифференциала 306
Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя 309
Формула Тейлора 313
Исследование функций. Промежутки монотонности и экстремумы функций 317
Общая схема анализа свойств функции и построения ее графика 326
Задача о наибольшем и наименьшем значениях функции на промежутке 330
6. Функция одной переменной: интегральное исчисление 335
6.1. Неопределенный интеграл 335
Основные методы интегрирования 337
Интегрирование рациональных дробей 346
Интегрирование иррациональных выражений 353
Интегралы от тригонометрических функций 361
6.2. Определенный интеграл 371
Практикум по высшей математике 628
Методы вычисления определенного интеграла 373
6.3. Несобственные интегралы 380
Интегралы от неограниченных функций 380
Интегралы с бесконечными пределами 383
6.4. Приложения определенного интеграла 386
Вычисление площадей 386
Вычисление длин дуг 395
Вычисление объемов 400
Вычисление площади поверхности вращения 405
Механические приложения
определенного интеграла 407
Приближенное вычисление
определенных интегралов 410
7. Функции нескольких переменных 415
7.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 415
n-мерное евклидово пространство 415
Предел функции нескольких переменных. Непрерывность 418
Частные производные и дифференциалы. Полный дифференциал 421
Производные сложных функций 426
Производная по направлению. Градиент 428
Частные производные и дифференциалы высших порядков 432
Дифференцирование неявных функций 435
Замена переменных в дифференциальных выражениях 437
7.2. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных 442
Формула Тейлора 442
Экстремумы функций нескольких переменных 445
Абсолютный экстремум 452
Геометрические приложения 466
7.3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных 474
Двойные интегралы 474
Тройные интегралы 489
7.4. Несобственные двойные и тройные интегралы 498
7.5. Приложения двойных и тройных интегралов 505
Вычисление площадей плоских фигур и поверхностей 505
Вычисление объемов 513
Физические приложения двойных и тройных интегралов 518
7.6. Криволинейные и поверхностные интегралы и их приложения 525
Криволинейные интегралы первого рода 525
Криволинейные интегралы второго рода 530
Интегрирование полных дифференциалов 533
Формула Грина и ее применение 536
Поверхностный интеграл первого рода 538
Поверхностный интеграл второго рода 542
Формула Стокса. Формула Остроградского 544
Практикум по высшей математике 630
8. Дифференциальные уравнения 549
8.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 549
Уравнения с разделяющимися переменными 550
Однородные уравнения 554
Линейные уравнения 557
Уравнение Бернулли 561
Уравнения в полных дифференциалах 562
Уравнения, не разрешенные относительно производной 564
8.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков 571
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 571
Линейные уравнения n-го порядка 576
Однородные линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 577
Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами 579
8.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 585
Системы линейных уравнений 585
9. Ряды 594
9.1. Числовые ряды 594
Признаки сходимости рядов 595
9.2. Функциональные, степенные ряды 608
Ряды Тейлора и Маклорена 609
9.3. Ряды Фурье 617
Литература 624