Практическое руководство к решению задач по высшей математике, Часть 3, Соловьев И.А., Шевелев В.В., Червяков А.В., Репин А.Ю., 2009

Практическое руководство к решению задач по высшей математике, Часть 3, Соловьев И.А., Шевелев В.В., Червяков А.В., Репин А.Ю., 2009.
   Пособие посвящено практическому освоению теоретического материала по следующим разделам высшей математики: кратные интегралы, основы векторного анализа, элементы теории функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы с основами теории устойчивости. Предлагается последовательное изучение методов решения основных задач по каждому разделу. Имеется большое количество задач для самостоятельного решения, которые снабжены ответами. Пособие содержит расчетно-графические задания по всем рассмотренным темам. В пособии излагаются основы высшей математики, поэтому оно может быть полезным для студентов инженерных специальностей, университетов, академий, технических, экономических, финансовых и экологических ВУЗов как очной, так и заочной или дистанционной форм обучения. Расчетно-графические задания могут использоваться преподавателями в качестве заданий для самостоятельной внеаудиторной работы.

Примеры.
Рассчитать моменты инерции однородных плоских фигур:
а) прямоугольника со сторонами а и b относительно одной из его вершин и относительно точки пересечения его диагоналей;
б) круга радиуса R относительно касательной и относительно точки на окружности.
Найти массу пластины, имеющей форму прямоугольного треугольника (катеты ОА = а, ОB = b), если плотность ее в любой точке пропорциональна расстоянию точки от катета ОА.
Доказать закон Архимеда: выталкивающая сила жидкости равна весу жидкости в объеме тела, целиком погруженного в нее, и направлена вертикально вверх.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1 Кратные интегралы и их приложения
1.1. Двойные интегралы
1.1.1. Жорданова мера плоской области ?
1.1.2. Двойной интеграл Римана по прямоугольнику D
1.1.3. Двойной интеграл Римана по произвольному измеримому по Жордану множеству
1.1.4. Основные свойства интеграла Римана на измеримом по Жордану множестве ?
1.1.5. Приведение двойного интеграла к повторному
1.1.6. Общее определение двойного интеграла
1.1.7. Замена переменных в двойном интеграле Римана
1.2. Тройные интегралы
1.2.1. Мера Жордана пространственной области
1.2.2. Тройной интеграл Римана по измеримому множеству ?
1.2.3. Замена переменных в тройном интеграле
1.3. Применение двойных и тройных интегралов
1.3.1. Геометрические применения
1.3.2. Физические применения двойных и тройных интегралов
1.4. Общие кратные интегралы
1.5. Несобственные кратные интегралы
1.6. Задачи с решениями к главе 1
1.7. Задачи к главе 1
Глава 2 Криволинейные и поверхностные интегралы. Основы векторного анализа
2.1. Криволинейные интегралы I рода
2.2. Криволинейные интегралы II рода
2.3. Поверхностные интегралы I рода
2.4. Поверхностные интегралы II рода
2.5. Формула Грина
2.6. Формула Гаусса-Остроградского
2.7. Формула Стокса
2.8. Основные операции векторного анализа в декартовых, цилиндрических и сферических координатах
2.9. Задачи с решениями к главе 2
2.10. Задачи к главе 2
Глава 3 Теория функций комплексной переменной
3.1. Определение комплексного числа
3.2. Действия над комплексными числами
3.3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
3.4. Извлечение корня из комплексного числа
3.5. Последовательность комплексных чисел и ее предел
3.6. Определение функции комплексной переменной
3.6.1. Основные понятия
3.6.2. Предел функции комплексной переменной
3.6.3. Непрерывность функции комплексной переменной
3.7. Производная и дифференциал функции комплексной переменной
3.8. Элементарные функции комплексной переменной
3.9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной
3.10. Интеграл от функции комплексной переменной
3.11. Интегральная теорема Коши
3.11.1. Теорема Коши
3.11.2. Первообразная и неопределенный интеграл
3.12. Интегральная формула Коши
3.12.1. Интегральная формула Коши
3.12.2. Формула для производных
3.13. Ряды функций комплексной переменной
3.13.1. Основные определения и понятии
3.13.2. Равномерная сходимость
3.13.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
3.13.4. Степенные ряды. Теорема Абели
3.13.5. Ряд Тейлора
3.13.6. Представление некоторых элементарных функций комплексной переменной степенными рядами
3.13.7. Ряд Лорана
3.13.8. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции и их классификация
3.13.9. Нули аналитической функции
3.13.10. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке
3.13.11. Логарифмический вычет функции. Принцип аргумента
3.14. Определение преобразования Лапласа
3.14.1. Свойства преобразования Лапласа
3.14.2. Формула обращения
3.14.3. Теорема разложения
3.14.4. Теорема о предельных значениях
3.14.5. Нахождение изображений функций непосредственно с помощью определения и с использованием таблиц изображений
3.14.6. Изображение производных и интеграла от оригинала
3.14.7. Отыскание оригинала по изображению
3.14.8. Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
3.14.9. Справочные таблицы
3.15. Задачи для самостоятельного решения
Глава 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
4.1. Основные понятия и теоремы
4.2. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
4.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4.2.1.1. Задачи с решениями
4.2.1.2. Задачи для самостоятельного решения
4.2.2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним
4.2.2.1. Задачи с решениями
4.2.2.2. Задачи для самостоятельного решения
4.2.3. Линейные ОДУ первого порядка с ненулевой правой частью. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати
4.2.3.1. Задачи с решениями
4.2.3.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.2.4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
4.2.4.1. Задачи с решениями
4.2.4.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.2.5. ОДУ, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро
4.2.5.1. Задачи с решениями
4.2.5.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.3. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков
4.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
4.3.1.1. Задачи с решениями
4.3.1.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.3.2. Линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
4.3.2.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определители Вронского и Грамма
4.3.2.2. Линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и нулевыми правыми частями
4.3.2.3. Задачи с решениями
4.3.3. Линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и ненулевой правой частью
4.3.3.1. Задачи с решениями
4.3.3.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
4.4.1. Основы теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений
4.4.2. Примеры систем дифференциальных уравнений с решениями
4.4.3. Задачи для самостоятельного решения
4.5. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений
4.5.1. Устойчивость по Ляпунову
4.5.1.1. Задачи с решениями
4.5.1.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.5.2. Второй метод Ляпунова
4.5.2.1. Задачи с решениями
4.5.2.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.5.3. Исследование на устойчивость с помощью абсолютной погрешности
4.5.3.1. Задачи с решениями
4.5.3.2. Задачи для самостоятельного решения с ответами
Расчетно-графические задания
Ответы
Список литературы.