Практические занятия по математике, Богомолов, 2003

Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
   Настоящее пособие (5-е изд. — 2002 г. ) представляет собой руководство к решению задач по всем разделам программы по математике для техникумов на базе неполной и полной средней школы.
Основное назначение пособия — помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя, изучить приемы решения задач по математике, закрепить и углубить навыки, приобретенные при решении этих задач.
Для студентов средних специальных учебных заведений. Может быть использовано студентами колледжей.

Верные и значащие цифры числа.
Цифра m приближенного числа а называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра m.
Цифра m приближенного числа а называется верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра m.
В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.
Наиболее употребительна такая запись приближенного числа (например, в математических таблицах), при которой цифры верны в строгом смысле.
Граница абсолютной погрешности а находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Раздел I Элементы вычислительной математики
Глава 1. Погрешности приближенных значений чисел 10
§ 1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа. Граница абсолютной погрешности 10
§ 2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа. Округление приближенных значений чисел 11
§ 3. Относительная погрешность приближенного значения числа 13
Глава 2. Действия над приближенными значениями чисел 14
§ 1. Сложение приближенных значений чисел 14
§ 2. Вычитание приближенных значений чисел 15
§ 3. Умножение приближенных значений чисел 16
§ 4. Деление приближенных значений чисел 17
§ 5. Возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня 18
§ 6. Вычисления с наперед заданной точностью 18
§ 7. Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора 19
§ 8. Решение косоугольных треугольников 21
§ 9. Смешанные задачи 24
Раздел II Алгебра и начала анализа
Глава 3. Системы уравнений и неравенств 25
§ I. Решение линейных уравнений с одной переменной 25
§ 2. Решение линейных неравенств с одной переменной 28
§ 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной 29
§ 4. Неравенства с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля 33
§ 5. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными 34
§ 6. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными 37
§ 7. Решение квадратных уравнений 39
§ 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители 41
§ 9. Решение уравнений приводимых к квадратным 43
§ 10. Задачи на составление квадратных уравнений 45
§ 11. Графическое решение квадратных неравенств 46
§ 12. Иррациональные уравнения 48
§ 13. Иррациональные неравенства с одной переменной 51
§ 14. Нелинейные системы уравнений и неравенств с двумя переменными 52
§ 15. Задачи на составление систем уравнений 55
§ 16. Простейшие задачи линейного программирования с двумя переменными 55
Глава 4. Функция. Логарифмическая и показательная функции 58
§ 1. Функция. Область определения и множество значений функции 58
§ 2. Логарифмическая функция 60
§ 3. Показательные уравнения 62
§ 4. Системы показательных уравнений 64
§ 5. Показательные неравенства 65
§ 6. Логарифмические уравнения 66
§ 7. Системы логарифмических уравнений 68
§ 8. Логарифмические неравенства 68
§ 9. Смешанные задачи 69
Глава 5. Бесконечная числовая последовательность. Предел последовательности 71
§ 1. Бесконечная числовая последовательность 71
§ 2. Предел числовой последовательности 73
Глава 6. Предел функции 76
§ 1. Вычисление предела функции 76
§ 2. Число е. Натуральные логарифмы 81
§ 3. Смешанные задачи 82
§ 4. Приращение аргумента и приращение функции 83
§ 5. Непрерывность функции 84
§ 6. Точки разрыва функции 86
§ 7. Асимптоты 87
§ 8. Решение дробно-рациональных неравенств методом промежутков 89
Глава 7. Производная 92
§ 1. Скорость изменения функции 92
§ 2. Производная 94
§ 3. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня 95
§ 4. Производная сложной функции 98
§ 5. Физические приложения производной 100
§ 6. Производные логарифмических функций 102
§ 7. Производные показательных функций 103
§ 8. Смешанные задачи 104
Глава 8. Приложения производной к исследованию функций 105
§ 1. Возрастание и убывание функции 105
§ 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной 107
§ 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной
§ 4. Наименьшее и наибольшее значения функции 111
§ 5. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин 111
§ 6. Направление выпуклости графика функции ИЗ
§ 7. Точки перегиба 114
§ 8. Построение графиков функций 115
Глава 9. Тригонометрические функции 118
§ 1. Радианное измерение дуг и углов 118
§ 2. Единичная числовая окружность 121
§ 3. Тригонометрические функции числового аргумента 123
§ 4. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций 124
§ 5. Основные тригонометрические тождества 128
§ 6. Периодичность тригонометрических функций 132
§ 7. Обратные тригонометрические функции 134
§ 8. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции 135
§ 9. Тригонометрические уравнения 140
§ 10. Тригонометрические неравенства 145
§ 11. Свойство полупериода синуса и косинуса 147
§ 12. Формулы приведения 148
§ 13. Смешанные задачи 149
§ 34. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения) 150
§ 15. Смешанные задачи 154
§ 16. Тригонометрические функции удвоенного аргумента 155
§ 17. Тригонометрические функции половинного аргумента 157
§ 18. Смешанные задачи 169
§ 19. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму 162
§ 20. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение 163
§ 21. Преобразования с помощью вспомогательного аргумента 166
§ 22. Смешанные задачи 168
§ 23. Вычисление пределов тригонометрических функций. Предел отношения xin x/x при х->0 169
§ 24. Производные тригонометрических функций 1 171
§ 25. Производные обратных тригонометрических функций 173
§ 26. Вторая производная и ее приложения 174
§ 27. Гармонические колебания 175
§ 28. Основные свойства тригонометрических функций 177
§ 29. Построение графиков тригонометрических функций 177
§ 30. Смешанные задачи 178
Глава 10. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям 180
§ 1. Вычисление дифференциала функции 180
§ 2. Абсолютная и относительная погрешности 181
§ 3. Вычисление приближенного числового значения функции 182
§ 4. Формулы для приближенных вычислений 183
§ 5. Вычисления по способу строго учета погрешностей 184ч
§ 6. Смешанные задачи 187
Глава 11. Неопределенный интеграл 188
§ 1. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование 188
§ 2. Геометрические приложения неопределенного интеграла 194
§ 3. Физические приложения неопределенного интеграла 196
§ 4. Интегрирование методом замены переменной 198
§ 5. Интегрирование по частям 201
§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций 203
§ 7. Смешанные задачи 204
Глава 12. Определенный интеграл 205
§ 1. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление 205
§ 2. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной 208
§ 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле 210
§ 4. Приближенное вычисление определенных интегралов 211
Глава 13. Приложения определенного интеграла 212
§ 1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры 212
§ 2. Вычисление пути, пройденного точкой 219
§ 3. Вычисление работы силы 221
§ 4. Вычисление работы, производимой при поднятии груза 223
§ 5. Вычисление силы давления жидкости 225
§ 6. Длина дуги плоской кривой 227
Глава 14. Комплексные числа 229
§ 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация 229
§ 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме 233
§ 3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме 235
§ 4, Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера 239
§ 5. Смешанные задачи 242
Глава 15. Дифференциальные уравнения 243
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 243
§ 2. Задачи на составление дифференциальных уравнений 245
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 248
§ 4. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка 250
§ 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 253
§ 6. Смешанные задачи 256
Глава 16. Элементы комбинаторики и теории вероятностей 257
§ 1. Элементы комбинаторики 257
§ 2. Случайные события. Вероятность события 260
§ 3. Теоремы сложения вероятностей 262
§ 4. Теоремы умножения вероятностей 264
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса 265
§ 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли 266
§ 7. Смешанные задачи 267
Раздел III Геометрия
Глава 17. Векторы на плоскости 269
§ I. Основные понятия и определения 269
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 270
§ 3. Прямоугольная система координат 273
§ 4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором с осями координат 276
§ 5. Деление отрезка в данном отношении 278
§ 6, Скалярное произведение двух векторов 279
§ 7. Преобразования прямоугольных координат 281
§ 8. Полярные координаты 283
§ 9. Смешанные задачи 284
Глава 18. Прямая на плоскости и ее уравнения 286
§ 1. Общее уравнение прямой. Векторное и каноническое уравнения прямой 286
§ 2. Уравнение прямой в отрезках на осях 289
§ 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 290
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 293
§ 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 294
§ 6. Пересечение двух прямых 295
§ 7. Угол между двумя прямыми 296
§ 8. Условие параллельности двух прямых 299
§ 9. Условие перпендикулярности двух прямых 300
§ 10. Смешанные задачи 302
Глава 19. Кривые второго порядка 304
§ 1. Множества точек на плоскости 304
§ 2. Окружность 306
§ 3. Эллипс 310
§ 4. Гипербола 312
§ 5. Парабола с вершиной в начале координат 315
§ 6. Парабола со смещенной вершиной 318
§ 7. Касательная и нормаль к кривой 321
§ 8. Смешанные задачи 326
Глава 20. Прямые и плоскости в пространстве 327
§ 1. Параллельность прямых и плоскостей 327
§ 2. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы 330
§ 3. Смешанные задачи 333
Глава 21. Векторы в пространстве 335
§ 1. Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве 4 335
§ 2. Скалярное произведение векторов в пространстве 339
§ 3. Векторное произведение 340
§ 4. Смешанные задачи 342
Глава 22. Уравнения прямой и плоскости в пространстве 343
§ 1. Плоскость 343
§ 2. Прямая в пространстве 347
§ 3. Плоскость и прямая 350
§ 4. Смешанные задачи 352
Глава 23. Многогранники и площади их поверхностей 353
§ 1. Призма 353
§ 2. Площадь поверхности призмы 355
§ 3. Пирамида. Усеченная пирамида 357
§ 4. Площадь поверхности пирамиды и усеченной пирамиды 360
§ 5. Смешанные задачи 361
Глава 24. Фигуры вращения 363
§ 1. Цилиндр 363
§ 2. Конус. Усеченный конус 364
§ 3. Сфера. Шар 365
§ 4. Вписанная и описанная сферы 367
§ 5. Смешанные задачи 369
Глава 25. Объемы многогранников и фигур вращения 370
§ 1. Объем параллелепипеда и призмы 370
§ 2. Объем пирамиды 372
§ 3. Объем усеченной пирамиды 373
§ 4. Исследования на экстремум в задачах на объемы многогранников 373
§ 5. Объем фигур вращения 374
§ 6. Исследования на экстремум в задачах на объемы фигур вращения 376
§ 7. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла 378
§ 8. Смешанные задачи 381
Глава 26. Площади поверхностей фигур вращения 383
§ 1. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра 383
§ 2. Площади боковой и полной поверхностей конуса 384
§ 3. Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса 385
§ 5. Исследования на экстремум в задачах на площади поверхностей фигур вращения 386
§ 6. Вычисление площадей поверхностей фигур вращения с помощью определенного интеграла 387
§ 7. Смешанные задачи 389
Раздел IV Дополнительные главы
Глава 27. Ряды 391
§ 1. Числовые ряды 391
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 395
§ 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов 400
§ 4. Вычисление суммы членов знакочередующегося ряда с заданной точностью и оценка остатка ряда 403
§ 5. Степенные ряды 405
§6. Разложение функций в степенные ряды 409
§ 7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций 416
§ 8. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов 417
Глава 28. Ряды Фурье 419
§ 1. Тригонометрический ряд Фурье 419
§ 2. Ряд Фурье для нечетной функции 423
§ 3. Ряд Фурье для четной функции 426
§ 4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в промежутке 0<JC<2TC 428
§ 5. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в произвольном промежутке 430
§ 6. Разложение в ряды Фурье некоторых функций, часто встречающихся в электротехнике 433
Глава 29. Двойные интегралы 435
§ 1. Функции нескольких переменных 435
§ 2. Частные производные и полный дифференциал 438
§ 3. Двойной интеграл и его вычисление 439
§ 4. Двойной интеграл в полярных координатах 447
§ 5. Вычисление площади плоской фигуры 450
§ 6. Вычисление объема тела 451
§ 7. Вычисление площади поверхности 454
§ 8. Вычисление массы плоской фигуры 459
§ 9. Вычисление статических моментов плоской фигуры 460
§ 10. Координаты центра тяжести плоской фигуры 463
§ 11. Вычисление моментов инерции плоской фигуры 466
Ответы 466.