Пособие по математике для поступающих в ВУЗы, Яковлев Г.Н., 1981

Пособие по математике для поступающих в ВУЗы, Яковлев Г.Н., 1981.
   Эта книга написана для учащихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания, с тем чтобы лучше подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗы. Она может помочь и тем, кто уже окончил школу, но продолжает изучать математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделениях. Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели профтехучилищ и техникумов, руководители математических кружков и студенты педагогических ВУЗов найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе. Наконец, книга может представлять интерес как сборник, содержащий более 2000 задач, из которых треть задач приведены с решениями. Значительная часть задач предлагалась на вступительных экзаменах в различных ВУЗах.

Понятие функции.
Пусть X — некоторое числовое множество. На множестве X определена числовая функция, если каждому элементу множества X поставлено в соответствие действительное число. Множество X называется при этом областью определения функции. Произвольный элемент области определения обычно обозначается буквой х и называется аргументом функции или независимой переменной. Выражение «аргумент х пробегает множество X» понимается в том смысле, что вместо х может быть взято любое число из области определения функции.
Например, числовая функция определена следующим образом: каждому числу х отрезка [0, 1] ставится в соответствие число 2x+1. Отрезок [0, 1] - ее область определения, закон соответствия может быть записан так: х>2х+1.
Другой пример функции: каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число 0. Область определения — все множество действительных чисел (эта функция называется функцией Дирихле).
Содержание
Предисловие
Глава I. Множества. Понятие функции и обратной функции
Числовые множества
§ 2. Понятие функции
§ 3. Координатная плоскость. График функции
§ 4. Обратная функция
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава II. Элементы логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Метод математической индукции
§ 1. Высказывания. Операции над высказываниями
§ 2. Предложения, зависящие от переменной
§ 3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия
§ 4. Метод математической индукции
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава III. Уравнения и системы уравнений
§ 1. Уравнения с одним и несколькими переменными
§ 2. Системы уравнений
§ 3. Системы линейных уравнений
§ 4. Задачи на составление уравнении
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава IV. Алгебраические неравенства
§ 1. Функциональные неравенства Понятие равносильности неравенств
§ 2. Рациональные неравенства Метод интервалов
§ 3. Иррациональные неравенства
§ 4. Неравенства с модулем
§ 5. Неравенства с параметрами
§ 6. Доказательство неравенств
§ 7. Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие значения
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
Глава V. Последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Производная
§ 1. Бесконечные последовательности. Последовательности ограниченные и неограниченные
§ 2. Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях
§ 3. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса
§ 5. Геометрическая прогрессия
§ 6. Предел функции. Непрерывность функции
§ 7. Производная, ее геометрический смысл
§ 8. Предел функции на бесконечности
§ 9. Односторонние пределы. Бесконечные пределы
ЗАДА ЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава VI. Исследование функций и построение их графиков
§ 1. Четные и нечетные функции
§ 2. Периодические функции
§ 3. Асимптоты
§ 5. Элементарные функции и их графики
§ 6. Построение графиков функций
§ 7. Применение производной к исследованию функций и построению их графиков
§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава VII. Векторы
§ 1. Некоторые необходимые определения и обозначения
§ 2. Векторы, их обозначение и изображение. Коллинеарные и компланарные векторы
§ 4. Умножение вектора на число. Признак коллинеарности
§ 5, Условие компланарности векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
§ 6. Угол между векторами. Скалярное .произведение векторов
§ 7. Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами
§ 8. Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава VIII. Комплексные числа
§ 1. Определение комплексных чисел
§ 2. Свойства операций сложения и умножения
§ 3. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме
§ 4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа
§ 5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
§ 6. Возведение в степень и извлечение корня
§ 7. Алгебраические уравнения
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава IX. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства
§ 1. Тригонометрические уравнения
§ 2. Системы тригонометрических уравнений
§ 3. Тригонометрические неравенства
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава X. Показательные и логарифмические уравнения, системы и неравенства
§ 1. Показательные уравнения
§ 2. Логарифмические уравнения
§ 3. Разные примеры уравнений
§ 4. Система показательных и логарифмических уравнений
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XI. Комбинаторика. Формула Ньютона для степени бинома. Случайные события и их вероятности
§ 1. Размещения, перестановки, сочетания
§ 3. Случайные события и их вероятности
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XII. Интеграл
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
§ 2. Интеграл и формула Ньютона — Лейбница
§ 3. Площадь криволинейной трапеции
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XIII. Решение планиметрических задач
§ 1. Разные задачи
§ 2. Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов
§ 3. Свойства хорд, секущих и касательных
§ 4. Алгебраические и тригонометрические методы решения. Применение векторной алгебры
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XIV. Множества точек на плоскости и в пространстве. Задачи на построение
§ 1. Множества точек, обладающих заданным свойством
§ 2. Применение метода координат
§ 3. Задачи на построение
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XV. Стереометрия (часть I)
§ 1. Сечения многогранников
§ 2. Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач
§ 3. Угол между прямыми в пространстве
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XVI. Стереометрия (часть II)
§ 1. Перпендикулярные прямые и плоскости
§ 2. Об изображении на рисунках перпендикулярных прямых и плоскостей. Построение сечений, перпендикулярных прямой или плоскости
§ 3. Угол между прямой и плоскостью
§ 4. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми и плоскостями
§ 5. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Биссектор. Трехгранный угол
§ 6. О вычислении объемов многогранников и их частей
§ 7. Задачи на комбинации многогранников
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава XVII. Фигуры вращения
§ 1. Цилиндр
§ 2. Конус
§ 3. Сфера
§ 4. Комбинации сферы, конуса и цилиндра
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Приложение. Образцы вариантов, предлагавшихся в 1977—1979 гг. на письменных вступительных экзаменах по математике
Решения задач I раздела
Ответы к задачам II раздела и приложения
Список формул.