Пособие по геометрии для подготовительных курсов, Стереометрия, Прокофьев А.А., 2004

Пособие по геометрии для подготовительных курсов, Стереометрия, Прокофьев А.А., 2004.
   Пособие содержит необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач и большое количество задач для самостоятельного решения. Задачи, собранные под одним заголовком, как правило, расположены в порядке возрастающей трудности. В начале каждого пункта расположены основные типовые и опорные задачи. В пособии содержатся задачи разных уровней сложности. Многие из них взяты из вариантов вступительных экзаменов в различные ВУЗы (МГУ, МФТИ, МИЭТ и др.) для того, чтобы учащиеся могли оценить уровень своих знаний и степень подготовки к сдаче вступительного экзамена. Пособие будет полезно школьникам старших классов, учителям средних школ, а также тем, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.
   Настоящее пособие предназначено для слушателей подготовительных курсов, а также для школьников, готовящихся к поступлению в высшие учебные заведения, и призвано в интенсивной форме организовать повторение стереометрии, сосредоточить главные усилия учащихся на узловых вопросах программы, познакомить с характером и уровнем требований, предъявляемых к поступающим в ВУЗы.
Пособие написано в соответствии с программой по геометрии для поступающих в ВУЗы. В теоретической части определяются понятия, формулируются основные факты и теоремы, которые выпускник должен знать по этому разделу, а также даются примеры основных приемов решения задач. Во второй части содержится большое количество задач для аудиторной и самостоятельной работы. Вторая часть пособия содержит 10 параграфов. Внутри каждого параграфа задачи близкие по теме объединяются общим заголовком, а задачи близкие по содержанию или методу решения объединены одним номером. Задачи, собранные под одним заголовком, как правило, расположены в порядке возрастающей трудности, причем основные типовые и опорные задачи расположены в начале каждого пункта.
Содержание
Глава 1. Введение в стереометрию 4
§1.1. Основные понятия 4
§1.2. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом 5
Аксиоматика А. В. Погорелова (5); Аксиоматика Л. С. Атанасяна (7)
Глава 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 8
§2.1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 8
§2.2. Взаимное расположение прямой и плоскости 10
Параллельность прямой и плоскости (10); Перпендикуляр и наклонная к плоскости (11); Угол между прямой и плоскостью (12); Связь параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (13); Расстояния между объектами в пространстве (14).
§2.3. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве 17
Параллельные плоскости (17); Двугранные углы и перпендикулярные плоскости (18); Перпендикулярные плоскости (20).
§2.4. Параллельное проектирование 21
Основные свойства параллельного проектирования (22); Изображение различных фигур в параллельной проекции (23)
§ 2.5. Чертеж в стереометрической задаче и задачи на построение в стереометрии 27
Построения в стереометрии (27).
§2.6. Примеры решения задач по вычислению углов между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. 35
Вычисление угла между скрещивающимися прямыми (35); Вычисление угла между прямой и плоскостью (38); Вычисление угла между плоскостями (41).
§2.7. Применение различных методов для решения задач по вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми, параллельными прямой и плоскостью, параллельными плоскостями 47
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью (47); Расстояние между скрещивающимися прямыми (48).
Глава 3. Построения в пространстве 53
§3.1. Построение плоских сечений многогранников 53
Метод следов (58); Метод внутреннего проектирования (61); Метод переноса секущей плоскости (63).
§3.2. Вычисление площади сечения 64
§3.3. Геометрические места в пространстве 67
Глава 4. Многогранники 70
§4.1. Призма и параллелепипед 70
Призма (70); Параллелепипед (71); Поверхность призмы и параллелепипеда (71); Объем призмы и параллелепипеда (72).
§4.2. Пирамида 76
Высота пирамиды (80).
§4.3. Правильная пирамида 81
Соотношения между углами в правильной пирамиде (81); Вычисление объема правильной пирамиды (83); Вычисление площади боковой поверхности правильной пирамиды (84)
§4.4. Усеченная пирамида 85
§4.5. Многогранники. Подобие многогранников 88
§4.6. Многогранные углы 90
§4.7. Соотношение между основными элементами трехгранного угла 94
«Теорема косинусов» для трехгранного угла (94); «Теорема синусов» для трехгранного угла (95).
Глава 5. Круглые тела 100
§5.1. Цилиндр 100
§5.2. Конус 105
§5.3. Усеченный конус 110
§5.4. Сфера и шар 116
Поверхность и объем шара и его частей (118); Объем тела вращения (119); Описанные шары (123); Вписанные шары (125)
Глава 6. Векторный и координатный методы 133
§6.1. Векторный метод 133
Скалярное произведение векторов (135); Проекция вектора (136);
§6.2. Метод координат 137 Деление отрезка в данном отношении (139); Уравнения плоскости (140); Уравнения прямой в пространстве (140); Расстояния и углы (141); Уравнение сферы (148).
Глава 7. Задачи по определению наибольших и наименьших значений 150
Задачи для самостоятельного решения 153
§1. Прямые и плоскости в пространстве 154
Принадлежность прямой плоскости (154); Параллельность прямых, прямой
и плоскости, плоскостей (155); Скрещивающиеся прямые (156); Перпендикулярность прямой и плоскости; плоскостей (157).
§2. Углы между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью,
между плоскостями 159
Угол между прямыми в пространстве (159); Угол между прямой и плоскостью (160); Угол между плоскостями (161).
§3. Расстояние между объектами в пространстве 162
Расстояние между точками, от точки до прямой или плоскости (162); Расстояние между скрещивающимися прямыми (163).
§4. Построения в пространстве 166
Построение точки пересечения прямой и плоскости (166); Построение прямой пересечения плоскостей (166); Построения на изображениях (167); Построение плоских сечений многогранников (168); Задачи на построения в пространстве (170).
§5. Геометрические места в пространстве 171
§6. Призма 174
Куб и прямоугольный параллелепипед (174); Призма (176).
§7. Пирамида 179
Правильная пирамида (179); Произвольная пирамида (180); Усеченная пирамида (183); Трехгранный угол (184).
§8. Круглые тела (цилиндр и конус) 186
Цилиндр (186); Конус (187); Усеченный конус (190); Цилиндр и конус (191); Тела вращения (191).
§9. Круглые тела (сфера и шар) 192
Сечение шара и сферы плоскостью (192); Шары и сферы, касающиеся плоскости или вписанные в двугранный угол. Касание шаров и сфер (193); Комбинации шара с многогранниками (195); Полушар (199); Конус и цилиндр (200); Усеченный конус (202); Части сферы и шара (203).
§10. Задачи на экстремальные значения 204
Задачи, решаемые геометрическими способами (204); Задачи, решаемые с использованием производной (205).
§11. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры в пространстве. Метод координат в пространстве 207
Векторы: сложение и умножение на число (207); Прямоугольная система координат (208); Скалярное произведение векторов (209); Уравнение плоскости (212); Уравнение прямой в пространстве (214); Прямая и плоскость в пространстве (214); Уравнение сферы (215). Ответы и указания 217