Основы вычислительной математики, Денисова Э.В., Кучер А.В., 2010

Основы вычислительной математики, Денисова Э.В., Кучер А.В., 2010.
 
  Расчеты, как правило, производятся с приближенными значениями величин - приближенными числами. Уже исходные данные для расчета обычно даются с некоторыми погрешностями; в процессе расчета еще накапливаются погрешности от округления, от применения приближенных формул и т. п. Разумная оценка погрешности при вычислениях позволяет указать оптимальное количество знаков, которые следует сохранять при расчетах, а также в окончательном результате.

Устойчивость. Корректность. Сходимость.
Устойчивость. Рассмотрим погрешности исходных данных. Поскольку это так называемые неустранимые погрешности и вычислитель не может с ними бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влиянии на точность окончательных результатов. Конечно, мы вправе надеяться на то, что погрешность результатов имеет порядок погрешности исходных данных. Всегда ли это так? К сожалению, нет. Некоторые задачи весьма чувствительны к неточностям в исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так называемой устойчивостью.
Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность Ах, то решение имеет погрешность ?у. Задача называется устойчивой но исходному параметру х, если решение у непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины Ах приводит к малому приращению искомой величины ?у. Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов. Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату. О подобных неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
§1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности
§2. Устойчивость. Корректность. Сходимость
§4. Умножение и деление приближенных чисел
§5. Погрешности вычисления значений функции
§6. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции
Глава 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
§1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера
§2. Вычисление значений некоторых трансцендентных функций с помощью степенных рядов
§3. Некоторые многочленные приближения
§4. Применение цепных дробей для вычисления значений трансцендентных функций
§5. Применение метода итераций для приближённого вычисления значений функций
Глава 3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§1. Уравнения с одним неизвестным. Метод деления пополам. Метод хорд. Метод касательной. Метод простой итерации
§2. Действительные и комплексные корни алгебраических уравнений
§3 Системы уравнений. Метод простой итерацию. Метод Ньютона
Глава 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТРИЦ И МНОГОМЕРНЫХ МАССИВОВ НА ЯЗЫКАХ ВЫСОКОГО УРОВНЯ
§1. Представление матриц и многомерных массивов на языках С, C++
§2. Представление матриц и многомерных массивов на языке Pascal
§3. Пример приведения матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса на языке С
Глава 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Прямые методы. Метод Гаусса. Метод главных диагоналей. Определитель и обратная матрица. Метод прогонки
§2. Итерационные методы. Уточнение решения. Метод простой итерации. Метод Гаусса-Зейделя
§3. Задачи на собственные значения. Метод вращений. Трехдиагональные матрицы
Глава 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
§1.Точечная аппроксимация. Равномерное приближение
§2. Многочлены Чебышева. Вычисление многочленов. Рациональные приближения
§3. Интерполирование. Линейная и квадратичная интерполяция. Многочлен Лагранжа. Многочлен Ньютона. Кубические сплайны. Точность интерполяции
§4. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы. Локальное сглаживание данных.
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§1 Численное дифференцирование. Аппроксимация производных. Погрешность численного дифференцирования. Использование интерполяционных формул. Метод неопределенных коэффициентов. Частные производные
§2. Интегрирование. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона. Метод сплайнов. Адаптивные алгоритмы. Кратные интегралы. Метод Монте-Карло
Глава 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностные методы
§2. Задача Коши. Одношаговые методы - метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера, метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы - метод Адамса, метод Милна
§3 Краевые задачи. Метод стрельбы. Метод конечных разностей
Глава 9. ОПТИМИЗАЦИЯ
§1. Задача оптимизации. Постановка задачи
§2. Одномерная оптимизация. Задачи на экстремум. Методы поиска. Метод золотого сечения
§3. Многомерная оптимизация. Минимум функции нескольких переменных. Метод покоординатного спуска.
Метод градиентного спуска
§4. Задачи с ограничением. Метод штрафных функций. Линейное программирование. Геометрический метод. Симплекс метод
Глава 10. БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§1. Дискретное преобразование Фурье
Вывод преобразования
Матричное представление
Свойства
§2. Алгоритм быстрого преобразования Фурье
2.2 Обратное преобразование Фурье
2.3 Общий случай
2.4 Принцип работы Быстрого преобразования Фурье
Глава 11. АЛГОРИТМЫ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§1. Генерация случайных чисел с нормальным законом распределения
§2. Генерация случайных чисел с экспоненциальным законом распределения
§3. Генерация случайных чисел с равномерным законом распределения на отрезке (а, b)
§4. Генерация случайных чисел с распределением Пуассона
§5. Генерация случайных чисел с показательным законом распределения
§6. Примеры программ генераторов случайных чисел.