Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2008

Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2008.
   Изложены основы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, экономико-математического моделирования и оптимального управления, эконометрики. Именно такая базовая совокупность знаний необходима в экономическом образовании. По всем разделам, помимо решения соответствующих задач, приведены экономические приложения и модели. Материал полностью соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования для экономических специальностей. Предназначена для студентов экономических и смежных технических специальностей ВУЗов, аспирантов и преподавателей, слушателей программ заочного и дистанционного обучения, экономистов-практиков, а также для тех, кто хочет самостоятельно углубить свои знания.

Способы задания функций.
Задать функцию — значит указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Существуют три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.
1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 11
Раздел I ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 14
Глава 1. МНОЖЕСТВА 14
1.1. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами 14
1.2. Вещественные числа и их свойства 16
1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней 18
1.4. Комплексные числа 20
1.5. Абсолютная величина числа 27
Упражнения 28
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 28
2.1. Числовые последовательности 28
2.2. Применение в экономике 35
Упражнения 37
Глава 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 38
3.1. Понятие функции 38
3.2. Предел функции 46
3.3. Теоремы о пределах функций 48
3.4. Два замечательных предела 50
3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 53
3.6. Понятие непрерывности функции 53
3.7. Непрерывность элементарных функций 55
3.8. Понятие сложной функции 58
3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости 59
Упражнения 64
Глава 4. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 66
4.1. Понятие производной 66
4.2. Понятие дифференциала функции 70
4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного 72
4.4. Таблица производных простейших элементарных функций 72
4.5. Дифференцирование сложной функции 73
4.6. Понятие производной n-го порядка 75
Упражнения 76
Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ 78
5.1. Раскрытие неопределенностей 78
5.2. Формула Маклорена 81
5.3. Исследование функций и построение графиков 84
5.4. Применение в экономике 96
Упражнения 102
Глава 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 104
6.1. Первообразная и неопределенный интеграл 104
6.2. Основные свойства неопределенного интеграла 105
6.3. Таблица основных неопределенных интегралов 106
6.4. Основные методы интегрирования 108
Упражнения 114
Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 116
7.1. Условия существования определенного интеграла 116
7.2. Основные свойства определенного интеграла 118
7.3. Основная формула интегрального исчисления 119
7.4. Основные правила интегрирования 121
7.5. Геометрические приложения определенного интеграла 124
7.6. Некоторые приложения в экономике 129
7.7. Несобственные интегралы 132
Упражнения 137
Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 138
8.1. Евклидово пространство Еm 138
8.2. Множества точек евклидова пространства Еm 140
8.3. Частные производные функции нескольких переменных 146
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 151
8.5. Применение в задачах экономики 154
Упражнения 160
ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 162
Глава 9. ВЕКТОРЫ 162
9.1. Векторное пространство 162
9.2. Линейная зависимость векторов 165
9.3. Разложение вектора по базису 167
Упражнения 171
Глава 10. МАТРИЦЫ 171
10.1. Матрицы и операции над ними 171
10.2. Обратная матрица 181
10.3. Линейные операторы 182
10.4. Квадратичные формы 185
Упражнения 187
Глава 11. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 189
11.1. Операции над определителями и основные свойства 189
11.2. Ранг матрицы и системы векторов 194
11.3. Критерий знакоопределенности квадратичной формы 195
Упражнения 197
Глава 12. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 199
12.1. Основные понятия 199
12.2. Методы решения систем линейных уравнений 201
12.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 212
12.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений 213
12.5. Однородные системы линейных уравнений 215
Упражнения 220
Глава 13. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ 222
13.1. Использование алгебры матриц 222
13.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 229
13.3. Линейная модель торговли 236
Упражнения 239
ЧАСТЬ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 241
Глава 14. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 241
14.1. Основные понятия теории вероятностей 242
14.2. Теорема сложения вероятностей 245
14.3. Теорема умножения вероятностей 248
14.4. Обобщения теорем сложения и умножения 252
14.5. Схема независимых испытаний 259
Упражнения 266
Глава 15. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 269
15.1. Случайные величины и законы их распределения 269
15.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 274
15.3. Система двух случайных величин 284
15.4. Непрерывные случайные величины 290
15.5. Основные распределения непрерывных случайных величин 298
15.6 Задачи математической статистики 305
15.7. Статистические оценки статистических гипотез 320
15.8. Закон больших чисел 326
15.9. Цепи Маркова 327
Упражнения 330
ЧАСТЬ 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 335
Глава 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 336
16.1. Основные понятия 336
16.2. Уравнения с разделяющимися переменными 340
16.3. Неполные уравнения 342
16.4. Линейные уравнения первого порядка 343
Упражнения 346
Глава 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 347
17.1. Основные понятия теории 347
17.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 349
17.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 352
17.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка 357
Упражнения 359
Глава 18. АППАРАТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ 360
18.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 360
18.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) 369
Упражнения 372
Раздел II ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЧАСТЬ 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 376
Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В N-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 378
19.1. Основные понятия и определения 378
19.2. Решение систем т линейных неравенств с двумя переменными 382
Упражнения 386
Глава 20. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 387
20.1. Постановка задачи 387
20.2. Алгоритм решения задач 387
20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий 388
20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода 390
Упражнения 394
Глава 21. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД 397
21.1. Общая постановка задачи 397
21.2. Алгоритм симплексного метода 397
21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия 400
21.4. Альтернативный оптимум 402
Упражнения 405
Глава 22. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 410
22.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей 410
22.2. Основные теоремы двойственности 412
22.3. Решение двойственных задач 413
22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности 419
22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов 421
Упражнения 425
Глава 23. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 428
23.1. Общая постановка задачи 428
23.2. Нахождение исходного опорного решения 430
23.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю 430
23.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность 432
23.5. Переход от одного опорного решения к другому 434
23.6. Открытая транспортная задача 436
23.7. Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений 438
Упражнения 440
Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 441
24.1. Общая формулировка задачи 441
24.2. Графический метод решения задач 443
24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей 444
24.4. Метод Гомори 445
Упражнения 447
ЧАСТЬ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 450
Глава 25. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 450
25.1. Общая постановка задачи 450
25.2. Графический метод 451
25.3. Метод множителей Лагранжа 457
Упражнения 460
Глава 26. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 462
26.1. Постановка задачи 462
26.2. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования 464
Упражнения 479
Глава 27. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ 483
27.1. Основные понятия сетевой модели 483
27.2. Минимизация сети 502
Упражнения 507
Глава 28. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР 513
28.1. Графическое решение игр вида (2хn) и (mх2) 518
28.2. Решение игр (aij)mxn с помощью линейного программирования 526
28.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях 528
28.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования 530
28.5. Игры с "природой" 532
28.6. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр 533
28.7. «Дерево» решений 537
Упражнения 543
Глава 29. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) 548
29.1. Формулировка задачи и характеристики СМО 548
29.2. СМО с отказами 551
29.3. СМО с неограниченным ожиданием 552
29.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди 553
29.5. Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания 555
Упражнения 560
ЧАСТЬ 7. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ 563
Глава 30. Нелинейная регрессия и корреляция 563
30.1. Нелинейная регрессия 563
30.2. Нелинейная корреляция 570
Упражнения 573
Глава 31. Множественная регрессия и корреляция 574
31.1. Нормальная линейная модель множественной регрессии 574
31.2. Некоторые особенности множественной регрессии и корреляции 580
31.3. Отбор факторов и методы построения множественной линейной корреляционной и регрессионной зависимости 582
31.4. Множественная линейная регрессионная зависимость 588
Упражнения 595
Глава 32. Прогнозирование экономических процессов 597
32.1. Элементы временного ряда 597
32.2. Основные показатели динамики экономических процессов 605
32.3. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании 611
Упражнения 623
ЧАСТЬ 8. ПРАКТИКУМ 628
Ответы к упражнениям 681
Приложение 703
Литература 711
Предметный указатель 712.