Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2001

Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2001.

   Изложены основы математического анализа, линейной алгебры, дифференциальных уравнении, теории вероятностей. Приведены основные элементы теории и методы оптимизации, используемые в различных экономических приложениях. Представлено большое число разобранных задач, имеется обширная подборка задач для самостоятельных упражнений и контрольных заданий. Материал полностью соответствует государственному образовательному стандарту высшего образования для экономических специальностей.
Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических и смежных технических специальностей ВУЗов, экономистов-практиков, а также слушателей заочного и дистанционного обучения.
   Это учебное пособие написано на основе лекций, читаемых авторами в течение ряда лет в экономических ВУЗах Москвы и Самары.
В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономическим дисциплинам.
Изложение материала проведено почти без доказательств — основной упор сделан на приобретение навыков использования математического аппарата. Каждый раздел сопровождается решением большого числа характерных задач и соответствующих экономических приложений, сложность которых постепенно возрастает от раздела к разделу. Приложения, представляющие в экономике самостоятельный интерес, выделены в специальные разделы. Книга содержит также обширную подборку задач и упражнений, оформленную в виде практикума с разделами по каждой теме.
Предлагаемое учебное пособие может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование с широким спектром требований. Эта книга будет весьма полезной и востребованной при подготовке студентов и слушателей заочного и дистанционного обучения, при комплектовании контрольных заданий можно использовать практикум.
Благодаря обширному материалу и большому числу разобранных задач и экономических приложений предлагаемая книга может служить справочным пособием для специалистов, работающих в различных областях экономики.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ВВЕДЕНИЕ 3
Раздел I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ 4
Часть 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 4
Глава 1. МНОЖЕСТВА 4
1.1. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами 4
1.2. Вещественные числа и их свойства 5
1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней 6
1.4. Грани числовых множеств 7
1.5. Абсолютная величина числа 8
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 8
2.1. Числовые последовательности 8
2.2 Применение в экономике 12
Глава 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 14
3.1. Понятие функции 14
3.2. Предел функции 18
3.3. Теоремы о пределах функций 20
3.4. Два замечательных предела 21
3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 23
3.6. Понятие непрерывности функции 23
3.7. Непрерывность элементарных функций 24
3.8. Понятие сложной функции 26
3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости 26
Глава 4. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 32
4.1. Понятие производной 32
4.2. Понятие дифференциала функции 34
4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного 36
4.4. Таблица производных простейших элементарных функций 36
4.5. Дифференцирование сложной функции 36
4.6. Понятие производной n-го порядка 37
Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ 39
5.l. Раскрытие неопределенностей 39
5.2. Формула Маклорена 42
5.3. Исследование функций и построение графиков 44
5.4. Применение в экономике 51
Глава 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 57
6.1. Первообразная и неопределенный интеграл 57
6.2. Основные свойства неопределенного интеграла 57
6.3. Таблица основных неопределенных интегралов 58
6.4. Основные методы интегрирования 59
Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 65
7.1. Условия существования определенного интеграла 65
7.2. Основные свойства определенного интеграла 66
7.3. Основная формула интегрального исчисления 67
7.4. Основные правила интегрирования 69
7.5. Геометрические приложения определенного интеграла 71
7.6. Некоторые приложения в экономике 74
7.7. Несобственные интегралы 76
Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 80
8.1. Евклидово пространство Em 80
8.2. Множества точек евклидова пространства Еm 80
8.3. Частные производные функции нескольких переменных 84
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 88
8.5. Применение в задачах экономики 90
Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 95
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 95
9.1. Основные понятия 95
9.2. Уравнения с разделяющимися переменными 98
9.3. Неполные уравнения 100
9.4. Линейные уравнения первого порядка 100
Глава 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 103
10.1. Основные понятия теории 103
10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 104
10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 106
10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка 109
Глава 11. АППАРАТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ 111
11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 112
11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) 118
Часть 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 121
Глава 12. ВЕКТОРЫ 121
12.1. Векторное пространство 121
12.2. Линейная зависимость векторов 122
12.3. Разложение вектора по базису 124
Глава 13. МАТРИЦЫ 127
13.1. Матрицы и операции над ними Понятие матрицы 127
13.2. Обратная матрица 133
Глава 14. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 134
14.1. Операции над определителями и основные свойства 134
14.2. Ранг матрицы и системы векторов 137
Глава 15. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 139
15.1. Основные понятия 139
15.2. Методы решения систем линейных уравнений 141
15.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 147
15.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений 148
15.5. Однородные системы линейных уравнений 149
Глава 16. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ 154
16.1. Использование алгебры матриц 154
16.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 159
16.3. Линейная модель торговли 163
Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 166
Глава 17. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 166
17.1. Основные понятия теории вероятностей 166
17.2. Теорема сложения вероятностей 168
17.3. Теорема умножения вероятностей 170
17.4. Обобщения теорем сложения и умножения 172
17.5. Схема независимых испытаний 176
Глава 18. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 182
18.1. Случайные величины и законы их распределения 182
18.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 185
18.3. Система двух случайных величин 192
18.4. Непрерывные случайные величины 195
18.5. Основные распределения непрерывных случайных величин 200
18.6. Некоторые элементы математической статистики 206
Раздел II. ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 216
Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 217
Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 218
19.1. Основные понятия и определения 218
19.2. Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными 220
Глава 20. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 223
20.1. Постановка задачи 223
20.2. Алгоритм решения задач 224
20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий 224
20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода 225
Глава 21. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД 230
21.1. Общая постановка задачи 230
21.2. Алгоритм симплексного метода 230
21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия 232
21.4. Альтернативный оптимум 234
Глава 22. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 239
22.2. Основные теоремы двойственности 240
22.3. Решение двойственных задач 241
22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности 245
22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов 247
Глава 23. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 251
23.1. Общая постановка задачи 251
23.2. Нахождение исходного опорного решения 252
23.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю 253
23.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность 254
23.5. Переход от одного опорного решения к другому 255
23.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах 257
23.7. Вырожденность в транспортных задачах 259
23.8. Открытая транспортная задача 261
23.9. Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений 262
23.10. Экономический анализ транспортных задач 263
23.11. Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач 265
23.12. Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования 266
Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 269
24.1. Общая формулировка задачи 269
24.2. Графический метод решения задач 271
24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей 271
24.4. Метод Гомори 272
Глава 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 276
25.1. Постановка задачи 276
25.2. Линейное программирование с параметром в целевой функции 276
25.3. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации 278
25.4. Транспортная параметрическая задача 281
25.5. Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог 282
Глава 26. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ 287
26.1. Постановка задачи 287
26.2. Алгоритм решения задачи 288
26.3. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков 290
26.4. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов 291
Глава 27. ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ ЦЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 293
27.1. Формулировка задачи 293
27.2. Математическая модель нахождения компромиссного решения 294
27.3. Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях 295
Часть 6. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 297
Глава 28. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 297
28.1. Общая постановка задачи 297
28.2. Графический метод 298
28.3. Дробно-линейное программирование 302
28.4. Метод множителей Лагранжа 308
Глава 29. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 312
29.1. Постановка задачи 312
29.2. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования 313
Глава 30. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ 325
30.1. Основные понятия сетевой модели 325
30.2. Минимизация сети 338
Часть 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИРОВАНИЯ 345
Глава 31. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР 345
31.1. Графическое решение игр вида (2 x n) и (m x 2) 348
31.2. Решение игр (aij)mxn с помощью линейного программирования 353
31.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях 354
31.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования 355
31.5. Игры с "природой" 357
31.6. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр 358
31.7. "Дерево" решений 360
Глава 32. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) 366
32.1. Формулировка задачи и характеристики СМО 366
32.2. СМО с отказами 368
32.3. СМО с неограниченным ожиданием 369
32.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди 370
32.5. Определение эффективности использование трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания 371
Глава 33. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 375
33.1. Общая постановка задачи 375
33.2. Основная модель управления запасами 376
33.3. Модель производственных запасов 378
33.4. Модель запасов, включающая штрафы 379
33.5. Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами 380
Часть 8. ПРАКТИКУМ 383
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 428
ПРИЛОЖЕНИЕ 445
ЛИТЕРАТУРА 446