Основы математического анализа, Лихтарников Л.М., Поволоцкий А.И., 1997

Основы математического анализа, Лихтарников Л.М., Поволоцкий А.И., 1997.
   Пособие предназначено для учителей математики средних учебных заведений, начинающих работать по программе начал математического анализа, входящих в школьный курс математики. Оно поможет учителю улучшить свою подготовку путем самообразования. Пособие будет полезно учащимся старших классов школ с математическим уклоном.
   Настоящая книга "Математический анализ" предназначена для учителей математики средних учебных заведений.
Прошло более двух десятилетий после введения в школьный курс математики начал математического анализа, а создание в школах классов с математическим уклоном привело к преподаванию в этих классах курса "Математический анализ».
Написание предлагаемой книги преследовало две цели:
1) Обеспечить учителя математики старших классов книгой, содержащей достаточно полный минимум сведений по математическому анализу, необходимый учителю в процессе преподавания начал анализа.
2) Дать учителям старших классов с математическим уклоном учебное пособие по курсу "Математический анализ".
В связи с этим, авторы стремились излагать материал в краткой и доступной форме, не снижая его научного уровня. Книга состоит из четырех разделов:
1. Введение в математический анализ.
2. Дифференциальное исчисление.
3. Интегральное исчисление.
4. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. В изложении материала этих разделов широко используются простейшие понятия математической логики (формулы алгебры логики и логики предикатов). Учитывая, что элементы математической логики не входят в школьный курс математики, в книгу включено приложение, в котором излагаются основные понятия математической логики. С приложением можно познакомиться до начала работы над основным содержанием книги.
Содержание
Раздел I Введение в математический анализ 5
Глава I Множество действительных чисел 5
1. Действительные числа 5
2. Модуль действительного числа 11
3. Точечные множества на числовой оси 13
Глава II Функции 17
1. Отображения множеств 17
2. Сужение. Композиция отображений 20
3. Взаимно однозначное соответствие 21
4. Общее понятие функции действительной переменной 23
5. Способы задания функций действительного переменного 25
6. Простейшая классификация функций действительного переменного 29
7. Функции натурального аргумента (последовательности) 36
8. Принцип вложенных отрезков 37
Глава III Предел 39
1. Окрестность точки. Предельная точка множества 39
2. Предел функции в точке (по Коши) 42
3. Предел функции по множеству. Предел на бесконечности 48
4. Основные теоремы о пределах 49
5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 54
6. Практическое отыскание пределов функций 57
7. Односторонние пределы функции 59
8. Первый замечательный предел 61
9. Предел последовательности 63
10. Предел монотонной последовательности 65
11. Определение предела функции в точке (по Гейне) 66
12. Числом 67
13. Второй замечательный предел 68
14. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые 70
Глава IV Непрерывность 73
1. Приращение аргумента и функции 1 73
2. Непрерывность функции в точке 74
3. Непрерывность суммы, произведения и частного 76
4. Классификация точек разрыва функции 78
5. Непрерывность сложной функции 80
6. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль (первая теорема Больцано-Коши) 81
7. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции (вторая теорема Больцано-Коши) 83
8. Обратное отображение и понятие .обратной функции 84
9. Существование и непрерывность обратной функции 86
10. Свойства функций, непрерывных на сегменте 88
11. Равномерная непрерывность функции и теорема Кантора 89
Глава V Элементарные функции 93
1. Степенная функция с натуральным показателем и ее свойства 93
2. Степенная функция с целым отрицательным показателем 94
3. Определение степени с действительным показателем и ее существование 95
4. Степенная функция с рациональным показателем и» ее свойства 100
5. Показательная функция 102
6. Существование логарифмов и логарифмическая функция 104
7. Натуральные логарифмы. Связь между логарифмами с разными основаниями 105
8. Степенная функция c иррациональным показателем 106
9. Показательно-степенная функция 107
10. Решение показательных и логарифмических уравнений 108
11. Некоторые замечательные пределы, связанные с логарифмической и показательной функциями 115
12. Непрерывность тригонометрических функций 116
13. Существование и непрерывность обратных тригонометрических функций 117
14. Решение тригонометрических уравнений 118
УПРАЖНЕНИЯ 122
Раздел II Дифференциальное исчисление 126
Глава VI Дифференцируемые функции. Производная 127
1. Скорость 127
2. Дифференцируемость и производная 128
3. Непрерывность дифференцируемой функции 131
4. Понятие касательной. Касательная к график^ дифференцируемой функции 132
5. Дифференцирование суммы, произведения и частного 135
6. Дифференцирование сложной функции 137
7. Дифференцирование обратной функции 137
8. Производные основных элементарных функций 138
9. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной 142
10. Кривые заданные параметрически 144
11. Касательная к кривой Жордана 148
Глава VII Дифференциал 149
1. Дифференциал и его связь с производной 149
2. Геометрический и механический смысл дифференциала 150
3. Дифференциал суммы, произведения и частного 151
4. Дифференциал сложной функции 152
5. Дифференциалы высших порядков 153
Глава VIII Основные свойства дифференцируемых функций и их применения 155
1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях 155
2. Условие постоянства функции на промежутке 159
3. Возрастание и убывание функции в точке и на промежутке 159
4. Понятие максимума и минимума 162
4.1. Необходимое условие экстремума 163
4.2. Достаточные условия максимума и минимума 163
4.3. Нахождение наибольших и наименьших значений 167
5. Выпуклые функции. Точки перегиба 168
6. Применение дифференциального исчисления к нахождению пределов (правило Лопиталя) 172
7. Асимптоты 176
8. Исследование функций. Построение графиков 178
9. УПРАЖНЕНИЯ 181
Раздел III Интегральное исчисление 184
Глава IX Неопределенный интеграл 185
1. Задача восстановления функции по ее производной 185
2. Первообразная функция и неопределенный интеграл 185
3. Основные свойства неопределенного интеграла 187
4. Таблица основных интегралов 189
5. Основные способы интегрирования 189
6. Элементарный способ интегрирования 190
7. Интегрирование по частям 190
8. Интегрирование подстановкой . 192
9. Интегрирование рациональных функций 192
10. Интегрирование простейших правильных дробей 195
10. Разложение рациональной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов 200
11. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций 204
12. Метод рационализации 206
13. Интегрирование дифференциальных биномов. (Подстановки П.Л. Чебышева) 208
14. Интегрирование простейших тригонометрических функций 211
14.1. Методом рационализации (универсальная подстановка) 211
14.2. Интегрирование простейших тригонометрических функций 212
14.3. Интегрирование произведений синуса и косинуса кратных дуг 213
14.4. Интегрирование степеней синуса и косинуса 214
14.5. Интегрирование степеней тангенса и котангенса 215
14.6. Интегрирование квадратичных иррациональностей методом тригонометрических подстановок 216
Глава X Определенный интеграл 218
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 218
2. Интегрируемость функции и определенный интеграл 220
3. Нижние и верхние суммы Дарбу ограниченной функции 222
4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости 227
5. Интегрируемость непрерывных и монотонных, ограниченных функций 228
6. Основные свойства определенного интеграла 229
7. Теорема о среднем значении 232
8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 233
Существование первообразной функции 233
9. Формула Ньютона - Лейбница 235
10. Интегрирование по частям в определенном интеграле 236
11. Замена переменной в определенном интеграле 236
12. Интегральное определение логарифма 238
Глава XI Приложения определенного интеграла 240
1. Понятие спрямляемой дуги и ее длины 240
2. Вычисление длины дуги класса С1 241
3. Понятие квадрируемой фигуры и ее площади 245
4. Признаки квадрируемости фигур 245
5. Вычисление площади плоских фигур 249
6. Вычисление объемов тел вращения 254
7. УПРАЖНЕНИЯ 256
Раздел IV Дифференциальные уравнения 260
1. Основные понятия 261
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 263
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 266
4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 268
5. УПРАЖНЕНИЯ 272
Приложение Элементы математической логики
I. Основные положения алгебры логики 274
1. Понятие простого высказывания 274
2. Логические операции над высказываниями 275
3. Формулы алгебры логики 277
4. Равносильные формулы алгебры логики 278
5. Равносильные преобразования формул 281
II. Основные понятия логики предикатов 281
1. Понятие предиката 282
2. Логические операции над предикатами 283
3. Кванторные операции 284
4. Понятие формулы логики предикатов 285
5. Некоторые приложения логики предикатов в математике 286
ОТВЕТЫ 289