Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998

Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998.
   В курсе математического анализа нашли отражение принципиальные изменения, происшедшие в преподавании этой дисциплины за последние два десятилетия. Для того чтобы сделать изложение курса более доступным сжато и концентрировано излагаются вопросы теории, что позволяет быстрее подвести студентов к формулам Тейлора и Ньютона - Лейбница - главным результатам теории. Большое внимание уделено приложениям к исследованию функций, задачам на экстремум, приближенному решению уравнений, задачам геометрии и механики (в том числе задаче равновесия гибкой нити, а также связи законов Кеплера с законом всемирного тяготения).
Пособие рассчитано на студентов университетов и технических ВУЗов.
Две великие формулы (формула Тейлора и формула Ньютона—Лейбница) и фундаментальные понятия производной и интеграла—вот главные темы этой книги. Первой из названных формул посвящена глава 3, второй — глава 4. Очень важна S-я глава (последняя и самая большая). В ней собраны некоторые приложения дифференциального и интегрального исчисления. Обо всех рассказать невозможно — для этого нужна почти вся математика и очень многое из естественных наук и техники. На пути к главам 3-5 читателю придется преодолеть не очень увлекательное введение и довольно утомительные главы 1 и 2, посвященные разработке языка математического анализа.
Пособие адресовано студенту, не боящемуся самостоятельной и активной работы. Изложение, поначалу очень подробное, постепенно становится более сжатым. Обороты «легко видеть» встречаются все чаще в расчете на то, что читатель не пойдет дальше, не увидев в самом деле того, что нужно увидеть. Он не станет пропускать и упражнений, тем более, что иногда их результаты используются в последующих доказательствах. Упражнений в книге мало, и они никак не могут заменить задачники.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для студента 5
Предисловие для преподавателя 7
Введение 10
§ 1. Некоторые задачи математического анализа
§ 2. Множества 20
§ 3. Отображения 30
§ 4. Вещественные числа 45
§ 5. Расширенная прямая R пространство R и комплексная плоскость С 79
§ 6. Некоторые сведения о функциях,  вектор-функциях и комплексных функциях 82
§ 7. Многочлены 86
Глава 1. Непрерывные функции 92
§ 1. е-допуск функции в точке 93
§ 2. Определение непрерывности 104
§ 3. Некоторые действия с непрерывными функциями 108
§ 4. Непрерывность линейной комбинации, произведения и частного непрерывных функций. Первые примеры непрерывных функций 110
§ 5. Локальные свойства непрерывных функций 113
§ 6. От локальных свойств непрерывных функций к глобальным 116
§ 7. Доказательства теорем о глобальных свойствах непрерывных функций 119
§ 8. Обращение теоремы о сохранении промежутка для монотонных функции. Непрерывность обратной функции 121
§ 9. Непрерывность элементарных функций 122
§ 10. Классификация разрывов. Исправление функции в точке 120
Глава 2. Асимптотические равенства и оценки 130
§ 1. Предел функции в точке —
§ 2. Бесконечный предел и предел в бесконечности 130
§ 3. Обобщение: предел в R 138
§ 4. Единственность предела 141
§ 5. Непрерывность и предел композиции 143
§ 6. Предел числовой последовательности 140
§ 7. Определение суммы ряда 147
§ 8. Бесконечно малые и бесконечно большие 151
§ 9. Асимптотические оценки. Символы Оно 152
§ 10. Асимптотические равенства 158
§ 11. Уточнение асимптотических равенств 164
§ 12. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших 170
Глава 3. Дифференциальное исчисление 177
§ 1. Многочлены Тейлора: первое знакомство —
§ 2. Простейшие свойства многочленов Тейлора 180
§ 3. Первый многочлен Тейлора и касательная 186
§ 4. Исследование функции на монотонность и отыскание точек экстремума с помощью многочленов Тейлора 190
§ 5. Производная и дифференциал. Классы Сn. Формулировка основного результата 200
§ 6. Формула Тейлора (доказательство) 216
§ 7. Векторный вариант теории 224
§ 8. Правила дифференцирования. Свойства классов Ст 230
§ 9. Некоторые дополнения и обобщения, связанные с понятием производной и формулой Тейлора 238
Глава 4. Интеграл 262
§ 1. Первообразная —
§ 2. Римановы суммы и их пределы 265
§ 3. Основной результат: формула Ньютона—Лейбница 269
§ 4. Интеграл и его основные свойства 272
§ 5. Линейность интеграла. Теорема о среднем. Некоторые оценки интеграла 282
§ 6. Интегрирование по частям. Интегральная форма остатка формулы Тейлора 289
§ 7. Замена переменной в интеграле 294
§ 8. Восстановление аддитивной функции промежутка по ее плотности 297
§ 9. Некоторые дополнения 305
Глава 5. Приложения дифференциального и интегрального исчисления к некоторым задачам анализа, геометрии и механики 310
§ 1. Логарифмы —
§ 2. Экспонента. Степенная и показательная функции 323
§ 3. Экспонента с мнимым показателем. Тригонометрические функция 332
§ 4. Выпуклые функции 355
§ 5. Исследование функций, построение графиков, отыскание наибольших и наименьших значений 365
§ 6. Правило Лопиталя 381
§ 7. 0 приближенном решении уравнений 387
§ 8. Вычисление площадей н объемов 397
§ 9. Длины путей и кривых 401
§ 10. Равновесие гибкой нити 410
§ 11. Движение по прямой под действием силы, не зависящей от времени. Интеграл энергии 415
§ 12. Всемирное тяготение и законы Кеплера 428
Заключение 438
Указатель литературы 440
Предметный указатель 442