Основы математического анализа - часть 1 - Ильин В.А., Позняк Э.Г.

Название: Основы математического анализа - часть 1. 2005.
Автор: Ильин В.А., Позняк Э.Г.
    Один из выпусков "Курса высшей математики и математической физики" под редакцией А.Н.Тихонова. В.А.Ильина. А.Г.Свешникова.
Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете и на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.
Часть I включает теорию вещественных чисел, теорию пределов и непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, теорию числовых рядов, дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям "Физика" и "Прикладная математика".
    Особенностью этого учебника, отличающей его от других учебников по математическому анализу, является концепция построения теории предельного значения и непрерывности функции только на основе определения предела функции по Гейне (через предел последовательности). При этом введение второго эквивалентного определения предела функции по Коши, часто трудно воспринимаемого студентами первых курсов, откладывается до главы 8.
После многих лет преподавания математического анализа возникло намерение изменить указанную концепцию, что в последние годы воплощается при чтении лекционных курсов.
Однако многие математики, использующие этот учебник, в беседе со мной не советовали мне этого делать, убеждая меня в том, что тем самым я испорчу хорошо зарекомендовавший себя учебник.
Учитывая это мнение и тот факт, что эта книга рекомендована Ученым Советом МГУ к изданию в серии «Классический университетский учебник», приуроченный к 250-летию МГУ, я решил сохранить в этом издании указанную концепцию изложения.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 15
Предисловие к пятому изданию 16
Предисловие к первому изданию 17
Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа 19
§ 1. Математические понятия, возникающие при описании движения 19
§ 2 Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические понятия 22
§ 3 Задача о восстановлении закона движения по скорости и связанная с ней математическая проблематика 29
§ 4 Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении пути 31
§ 5 Заключительные замечания 35
Глава 2. Теория вещественных чисел 37
§ 1. Вещественные числа 37
§ 2 Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел 50
§ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел 56
Дополнение 1. О переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную и из двоичной системы в десятичную 57
Дополнение 2. Об ошибках в округлении чисел в системах счисления с четным и нечетным основаниями 59
Глава 3. Предел последовательности 61
§ 1. Числовые последовательности 61
§ 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства 67
§ 3. Монотонные последовательности 73
§ 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств 79
Дополнение 1. Теорема Штольца 93
Дополнение 2. О скорости сходимости последовательности приближающей л/а 96
Глава 4. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность 100
§ 1. Понятие функции 100
§ 2. Понятие предельного значения функции 103
§ 3. Понятие непрерывности функции 110
§ 4. Некоторые свойства монотонных функций 113
§ 5. Простейшие элементарные функции 117
§ 6. Предельные значения некоторых функций 133
§ 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций 138
§ 8. Классификация точек разрыва функции 143
Дополнение. Доказательство утверждения из п.6§ 5 146
Глава 5. Основы дифференциального исчисления 156
§ 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация 156
§ 2. Понятие дифференцируемости функции 162
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 166
§ 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции 168
§ 5. Теорема о производной обратной функции 171
§ 6. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций 173
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции 175
§ 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций 177
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала 179
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков 183
§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически 188
Глава 6. Неопределенный интеграл 190
§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 190
§ 2. Основные методы интегрирования 196
Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование в элементарных функциях 203
§ 1. Краткие сведения о комплексных числах 203
§ 2. Алгебраические многочлены 207
§ 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня 210
§ 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида 212
§ 5. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными коэффициентами на сумму простейших дробей 215
§ 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей 217
§ 7. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами 220
§ 8. Проблема интегрирования рациональной дроби 225
§ 9. Метод Остроградского 228
§ 10. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений 231
§ 11. Эллиптические интегралы 245
Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях 247
§ 1. Новое определение предельного значения функции 247
§ 2. Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение 252
§ 3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции 254
§ 4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение 255
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте 256
§ 6. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на сегменте 257
§ 7. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный максимум (минимум) 260
§ 8. Теорема о нуле производной 262
§ 9. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) 263
§ 10. Некоторые следствия из формулы Лагранжа 264
§ 11. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) 269
§ 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 270
§ 13. Формула Тейлора 275
§ 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена 278
§ 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементарных функций 281
§ 16. Примеры приложений формулы Маклорена 285
Дополнение. Вычисление элементарных функций 290
Глава 9. Геометрическое исследование графика функции. Нахождение максимального и минимального значений функции 300
§ 1. Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 300
§ 2. Направление выпуклости графика функции 308
§ 3. Точки перегиба графика функции 310
§ 4. Третье достаточное условие экстремума и перегиба 315
§ 5. Асимптоты графика функции 318
§ 6. Схема исследования графика функции 320
§ 7. Отыскание максимального и минимального значений функции. Краевой экстремум 323
Глава 10. Определенный интеграл 327
§ 1. Интегральные суммы. Интегрируемость 327
§ 2. Верхние и нижние суммы 330
§ 3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости 335
§ 4. Некоторые классы интегрируемых функций 337
§ 5. Основные свойства определенного интеграла 344
§ 6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения 347
§ 7. Существование первообразной для непрерывной функции. Основные правила интегрирования 352
Дополнение 1. Некоторые важные неравенства для сумм и интегралов 360
Дополнение 2. Доказательство утверждения из п. 4 § 6 368
Глава 11. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 368
§ 1. Длина дуги кривой 368
§ 2. Площадь плоской фигуры 383
§ 3. Объемы тел и площади поверхностей 390
§ 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла 395
Дополнение. Пример неквадрируемой фигуры 397
Глава 12. Приближенные методы вычисления корней уравнений и определенных интегралов 402
§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений 402
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 414
Глава 13. Теория числовых рядов 426
§ 1. Понятие числового ряда 426
§ 2. Ряды с положительными членами 432
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды 445
§ 4. Арифметические операции над сходящимися рядами 453
§ 5. Признаки сходимости произвольных рядов 454
§ 6. Бесконечные произведения 460
Дополнение 1. Вспомогательная теорема для п.3§2 466
Дополнение 2. Разложение функции sin ж в бесконечное произведение 467
Дополнение 3. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов 470
Глава 14. Функции нескольких переменных 475
§ 1. Понятие функции нескольких переменных 475
§ 2. Предельное значение функции нескольких переменных 483
§ 3. Непрерывные функции нескольких переменных 490
§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 497
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков 513
§ 6. Локальный экстремум функции т переменных 531
§ 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции 543
Дополнение. О выборе оптимального разбиения сегмента для приближенного вычисления интеграла 565
Глава 15. Теория неявных функций и ее приложения 568
§ 1. Понятие неявной функции 568
§ 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения 569
§ 3. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений 580
§ 4. Зависимость функций 587
§ 5. Условный экстремум 594
Дополнение. Замена переменных 602
Глава 16. Некоторые геометрические приложения дифференциального исчисления 606
§ 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых 606
§ 2. Соприкосновение плоских кривых 615
§ 3. Кривизна плоской кривой 622
§ 4. Эволюта и эвольвента 627
Приложение. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел 632
Предметный указатель 642