Основы аналитической геометрии и линейной алгебры, Сандаков Е.Б., 2005

Основы аналитической геометрии и линейной алгебры, Сандаков Е.Б., 2005.
   Данное учебное пособие «Основы аналитической геометрии и линейной алгебры» предназначено для студентов МИФИ первого курса всех специальностей.
Оно полностью соответствует программе курса “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”, предусмотренного для технических и экономических ВУЗов с углубленным изучением высшей математики, такими как МИФИ.
8 данном пособии рассматривается большое число примеров, которые способствуют лучшему усвоению студентами данного материала.
Кроме того, в конце каждой главы приводится список задач для самостоятельного решения, которые помогут читателю проконтролировать свои знания.
В основу данной книги положены пособия [1]-[3] (см, список литературы). Работы [4]-[12] рекомендуются для дополнительного чтения по данному курсу.

Определители n-го порядка.
Перестановки
Пусть даны я элементов а1..., а2, ...,аn (например, это могут быть числа 1, 2,..., n). Всевозможные расположения этих элементов называются перестановками из л элементов.
Всего из n различных между собой элементов можно составить 1 • 2... n = n l различных перестановок.
Порядок элементов в одной из них, выбранной произвольно, принимается за нормальный, а сама перестановка называется главной. Если элементы обозначаются одной буквой с индексами, то нормальным порядком элементов будем считать тот, в котором индексы идут в порядке возрастания натуральных чисел. Во всех перестановках кроме главной - нормальный порядок элементов нарушен.
Сохранение нормального порядка двух элементов, независимо от того стоят ли эти два элемент рядом или отделены друг от друга другими элементами, называется порядком, а нарушение - инверсией. Например, в перестановке a2ata5a3a4 элементы а2 и a1 a5 и а4 образуют инверсию, если за главную взята перестановка a1а2 а3 а4 а5.
Перестановка с четным числом инверсий называется перестановкой четного типа или просто четной, а перестановка с нечетным числом инверсий - перестановкой нечетного типа или нечетной. Для того чтобы сосчитать число инверсий в данной перестановке, можно поступать следующим образом: найти число элементов, стоящих в данной перестановке, перед тем элементом, который в главной занимает первое место, затем, выбросив этот элемент, найти число элементов, стоящих в полученной перестановке перед тем, который в главной занимает второе место, и так далее до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы; сумма найденных таким образом чисел представляет число инверсий в данной перестановке.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Векторная алгебра 9
§ 1. Понятие вектора. Операции сложения и умножения векторов на число и их свойства 9
§ 2. Теоремы разложения. Линейная зависимость и независимость векторов 13
§ 3. Базис и размерность линейного пространства свободных векторов. Координаты вектора в данном базисе 17
§ 4. Скалярное произведение векторов 21
§ 5. Векторное и смешанное произведение векторов 26
§ 6. Некоторые задачи аналитической геометрии в пространстве и на плоскости 38
§ 7. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве 41
§ 8. Полярные, цилиндрические и сферические координаты 44
Задачи к главе 1 48
Глава 2. Прямые линии и плоскости 50
§ 1. Задание уравнений кривых и поверхностей 50
§ 2. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве 55
§ 3. Уравнение прямой в пространстве 60
§ 4. Основные задачи о прямых и плоскостях 62
§ 5. Пучок прямых (плоскостей) 67
Задачи к главе 2 69
Глава 3. Линии второго порядка 70
§ 1. Каноническое уравнение эллипса, его свойства и построение 70
§ 2. Каноническое уравнение гиперболы, ее свойства и построение 73
§ 3. Каноническое уравнение параболы, ее свойства и построение 77
§ 4. Исследование линий второго порядка, заданных уравнениями общего вида 78
Глава 4. Поверхности второго порядка 89
§ 1. Цилиндрические поверхности 89
§ 2. Конические поверхности 89
§ 3. Поверхности вращения 91
§ 4. Эллипсоиды, гиперболоиды и конусы второго порядка 92
§ 5. Параболоиды 95
§ 6. Цилиндры второго порядка 97
§ 7. Общее уравнение поверхности второго порядка 98
§ 8 Классификация поверхностей второго порядка 100
Задачи к главе 4 107
Глава 5. Матрицы и определители 109
§ 1. Матрицы и действия над ними 109
§ 2. Определители п -го порядка 117
§ 3. Ранг Матрицы 132
§ 4. Обратная матрица 141
Задачи к главе 5 147
Глава 6. Системы линейных алгебраических уравнений 150
§ 1. Общие понятия. Теорема Крамера 150
§ 2. Эквивалентные системы. Метод Гаусса решения систем. Теорема Кронекера-Капелли 152
§ 3. Однородные системы 155
§ 4. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений 161
Задачи к главе 6 162
Глава 7. Линейные пространства 163
§ 1. Определение и примеры линейных пространств 163
§ 2. Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства 167
§ 3. Изоморфизм линейных пространств 175
§ 4. Линейные подпространства 177
§ 5. Прямая сумма подпространств 180
§ 6. Геометрическая интерпретация множества решений системы линейных алгебраических уравнений 183
Задачи к главе 7 186
Глава 8. Вещественные и комплексные (унитарные) евклидовы пространства 187
Задачи к главе 8 200
Глава 9. Линейные операторы в линейном пространстве 201
§ 1. Понятие линейного оператора и основные операции над ними 201
§ 2. Образ и ядро линейного оператора 206
§ 3. Обратный оператор 208
§ 4. Матрица линейного оператора 210
§ 5. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координат вектора при изменении базиса 216
§ 6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 218
§ 7. Инвариантное подпространство. Свойства собственных векторов линейного оператора 222
§ 8. Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных значений оператора А 223
§ 9. Приведение матрицы оператора к диагональному виду 226
§ 10. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду 229
Задачи к главе 9 231
Глава 10. Билинейные и квадратичные формы 233
§ 1. Линейные формы (функционалы) 233
§ 2. Билинейные формы в вещественном пространстве 236
§ 3. Квадратичные формы в вещественном пространстве 241
§ 4. Закон инерции квадратичных форм 249
§ 5. Знакоопределенные, знакопеременные и квазиопределенные квадратичные формы 251
§ 6. Критерий Сильвестра (знакоопределенности квадратичной формы) 252
§ 7. Полуторалинейная (билинейная) форма в унитарном (евклидовом) пространстве 254
§ 8. Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы 256
§ 9. Представление линейной и полуторалинейной формы в унитарном пространстве 256
Задачи к главе 10 258
Глава 11. Сопряженные операторы. Нормальные, унитарные, самосопряженные операторы 260
§ 1. Понятие сопряженного оператора и его свойства 260
§ 2. Нормальные, самосопряженные, унитарные, ортогональные операторы и их матрицы 262
§ 3. Основная спектральная теорема нормальных операторов 272
§ 4. Связь между нормальными, самосопряженными и унитарными операторами 275
§ 5. Основная спектральная теорема самосопряженных операторов 276
§ 6. Основная спектральная теорема унитарных операторов 277
§ 7. Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду 277
§ 8. Положительно определенные операторы 282
§ 9. Одновременное приведение двух эрмитовых квадратичных форм к каноническому виду 284
§10. Приведение матрицы линейного оператора к треугольному виду 291
§11. Поверхности второго порядка в п -мерном пространстве 293
§12. Классификация поверхностей второго порядка в п -мерном пространстве 299
Задачи к главе 11 306
Список литературы 308.