Основные понятия школьной математики, Любецкий В.А., 1987

Основные понятия школьной математики, Любецкий В.А., 1987.
   Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности № 2104 «Математика»
В учебном пособии излагаются основные понятия школьной математики (элементарные функции, угол, вектор, плоскость, планиметрия, измерение величин, площадь и мера плоской фигуры, решение алгебраических уравнений, геометрические построения, основания понятия числа) с точки зрения математических курсов пединститута; выясняется место этих основных понятий в системе представлений высшей математики.
Задача этой книги — показать место основных понятий школьной математики в гораздо более широкой системе представлений высшей математики и в этих рамках строго и последовательно Изложить понятия школьной (элементарной) математики с точки зрения высшей математики (которая отождествляется с содержанием пединститутских курсов алгебры и теории чисел, анализа, геометрии, математической логики и теории алгоритмов).
Хорошо известно, что многие выпускники пединститутов — будущие учителя, испытывают затруднения в своей профессиональной области — школьной математике. Это касается умения решать элементарные задачи и, в еще большей степени, понимания тонких вопросов элементарной математики, умения связывать те обширные математические теории, которые изучаются в течение четырех-пяти лет в пединституте, с конкретными вопросами элементарной математики. Цель пособия — помочь преодолеть две последние из отмеченных трудностей, способствуя тем самым усилению профессиональной направленности в подготовке учителя.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I Элементарные функции. Угол
Введение 19
1. Линейная функция 22
1. Аксиоматическое определение линейной функции 22
2. Свойства линейной функции 22
3. Теорема существования и единственности линейной функции 23
2. Показательная функция 24
1. Аксиоматическое определение показательной функции 24
2. Свойства показательной функции 24
3. Теорема существования и единственности показательной функции 26
3. Логарифмическая функция 30
1. Аксиоматическое определение логарифмической функции 30
2, Свойства логарифмических функций. Теорема существования и единственности логарифмической функции 31
4. Степенная функция 32
1. Аксиоматическое определение степенной функции 32
2. Теорема существования и единственности степенной функции 34
3. Свойства степенных функций 34
5. Функции косинус и синус числового аргумента 35
1. Экспоненциальная функция и ее периодичность 35
2. Теоремы существования и единственности экспоненциальной функции 40
3. Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические определения и свойства 45
6. Угол. Функции косинус и синус углового аргумента. Измерение углов 48
1. Введение 48
2. Определение угла в арифметической плоскости 49
3. Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. Свойства этих функций 53
4. Измерение углов 55
5. Обсуждение полученных результатов 60
Глава II Вектор. Плоскость. Планиметрия ведение 64
1. Сравнение различных подходов к понятию вектора 66
1. Вектор как пара чисел. Свободный вектор. Вектор как параллельный перенос 66
2. Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых 70
3. Вектор как тензор 75
§ 2. Понятие плоскости 77
1. Аффинная плоскость 77
2. Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости 80
3. Плоскость с формой 84
4. Проективная плоскость 89
§ 3. Аксиоматический подход к определению плоскости 94
1. Два типа аксиоматического определения плоскости 94
2. Аксиоматическое теоретико-множественное определение плоскости 95
3. Аксиоматики плоскости Евклида — Гильберта, Лобачевского и Римана 98
4. Двумерные римановы многообразия как модели аксиоматических определений плоскости 106
$ 4. Основные группы школьной планиметрии и их действие в плоскости 113
1.Аффинные отображения 113
2. Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости N8
3. Поднятие группы биекцнй в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости 123
§ 5. Понятие планиметрии 126
1. Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы 126
2. Евклидова планиметрия — планиметрия ортогональной группы 129
Глава III Измерение величин. Площадь и мера плоских фигур
Введение 134
§ 1. Примеры измерений и величин 137
§ 2. Положительная скалярная величина 140
§ 3. Измерение площади многоугольника 154
1. Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности 154
2. Инвариантность функции площади относительно эквиаффинной группы 158
§ 4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений площади многоугольника. Сравнение различных способов измерения площади многоугольника 161
1. Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным определением 161
2. Определение площади многоугольника с помощью движений 165
3. Способы измерения площади многоугольника 167
§ 5. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры плоской фигуры. Вычисление меры простейших криволинейных фигур 178
1. Измерение плоских криволинейных фигур 178
2. Неизмеримые множества 191
3. Аксиоматическое определение меры 193
4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры 202
5. Вычисление меры простейших криволинейных фигур 205
6. Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега 208
Глава IV Алгебраические уравнения степеней, меньших или равных Б, и геометрические построения
Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах и выполнимостью традиционных геометрических построений 210
1. Кубические уравнения и квадратичные расширения 210
2. Построение циркулем н линейкой 212
3. Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки 218
4. Геометрические построения, включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре 221
5. Геометрические построения с помощью одного циркуля 224
§ 2. Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий
разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени 227
1. Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах 227
2. Понятие разрешимой группы 232
3. Определение симметрической и знакопеременной групп 233
4. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп 236
5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа 241
6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени 247
7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа 254
3. Решение алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 4, в радикалах 261
1. План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой. группой Галуа 261
2. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с циклической группой Галуа 262
3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения 266
4. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа 268
5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения 269
Глава V Логико-математические основания понятия числа
§ 1. Понятие натурального ряда 273
1. Финитный подход к определению натурального ряда 273
2. Теоретико-множественный и аксиоматический подходы к определению натурального ряда 275
3. Сравнение определений целых чисел 281
§ 2. Определение рационального числа как линейной функции 282
§ 3. Основные подходы к определению вещественных чисел 287
1. Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности 287
2. Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение 291
3. Определение вещественного числа как сечения 296
4. Определение вещественного числа как последовательности знаков 301
§ 4. Основные подходы к определению комплексных чисел 308
§ 5. Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности и упорядоченности среди свойств комплексных и вещественных чисел 310
§ 6. Связь полей вещественных и комплексных чисел." Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое расширение и метрическое пополнение 320
Приложение I (к главе I)
1. Группы, изоморфные прямой и окружности 324
2. Длина дуги. Определение функций косинус и синус числового аргумента на основе понятия длины дуги 332
Приложение 2 (к главе III)
Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных величин 341
Приложение 3 (к главе IV)
Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утверждений 346
Приложение 4
Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости
§ 1. Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях 354
§ 2. Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях 366
§ 3. Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях 383