Определенный интеграл. Теория и практика вычислений. Садовничая И.В., Хорошилова Е.В., 2008

Название: Определенный интеграл. Теория и практика вычислений.
Автор: Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
2008
    Издание посвящено теоретическим и практическим аспектам вычисления определенных интегралов, а также методам их оценок, свойствам и приложениям к решению различных геометрических и физических задач. Книга содержит разделы, посвященные методам вычисления собственных интегралов, свойствам несобственных интегралов, геометрическим и физическим приложениям определённого интеграла, а также некоторым обобщениям интеграла Римана - интегралам Лебега и Стилтьеса.
    Изложение теоретического материала подкреплено большим количеством (более 220) разобранных примеров вычисления, оценок и исследования свойств определённых интегралов; в конце каждого параграфа приводятся задачи для самостоятельного решения (более 640, подавляющее большинство - с решениями).
Цель пособия - помочь студенту во время прохождения темы «Определенный интеграл» на лекциях и практических занятиях. К нему может обратиться студент для получения справочной информации по возникшему вопросу. Книга также может быть полезна преподавателям и всем желающим изучить данную тему достаточно подробно и широко.


СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
§ 1. Определённый интеграл Римана
1.1. Историческая справка 11
1.2. Определение интеграла Римана 14
1.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана 14
1.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению, т.е. переходом к пределу интегральных сумм 16
1.2.3. Геометрический смысл определённого интеграла 17
1.2.4. Суммы и интегралы Дарбу 18
1.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости 23
1.3. Основные классы интегрируемых функций 24
1.3.1. Функции, непрерывные на сегменте 24
1.3.2. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль поЖордану 25
1.3.3. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу 27
1.3.4. Функции, монотонные на сегменте 27
1.3.5. Интегрирование сложных функций 28
1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами 31
1.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Ньютона-Лейбница 35
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 41
§ 2. Оценки определённых интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства
2.1.Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами. 53
2.2. Интегральные теоремы о среднем.
2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функции 57
2.2.2. Вторая теорема о среднем 62
2.3. Некоторые известные интегральные неравенства.
2.3.1. Неравенство Коши-Буняковского 65
2.3.2. Неравенство Коши 67
2.3.3. Неравенство Гёлъдера 68
23.4. Неравенство Минковского 68
2.3.5. Неравенства для выпуклых функций 70
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 73
§ 3. Основные методы вычисления определённых интегралов
3.1. Интегрирование путём сведения к табличным (или известным) интегралам с помощью различных преобразований 81
3.2. Интегрирование путём замены переменной 89
3.3. Интегрирование по частям 99
3.4. Другие способы вычисления определённых интегралов 105
3.5. Интегрирование специальных классов функций 107
3.5.1. Интегрирование периодических функций 108
3.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования 110
3.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций 111
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 112
§ 4. Несобственные интегралы
4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла.
4.1.1. Несобственный интеграл 1-города 123
4.1.2. Несобственный интеграл 2-города 126
4.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши).
4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченном промежутке 129
4.2.2. Сходимость в смысле главного значения (по Коши) 130
4.2.3. Среднее значение несобственного интеграла 135
4.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственного интеграла 136
4.4. Свойства несобственного интеграла 138
4.5. Теоремы о среднем 146
4.6. Вычисление несобственных интегралов.
4.6.1. Формула Ньютона-Лейбница 147
4.6.2. Формула замены переменной 149
4.6.3. Формула интегрирование по частям 150
4.7. Исследование сходимости несобственных интегралов 153
4.7.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов от неотрицательных функций. Теорема сравнения 154
4.7.2. 1-й признак сравнения (признак абсолютной сходимости) 157
4.7.3. 2-й признак сравнения 157
4.7.4. 3-й признак сравнения (признак сравнения со степенью) 162
4.7.5. Признак Дирихле 165
4.7.6. Признак Абеля 168
4.7.7. Признак Коши 169
4.7.8. Использование формулы Тейлора при исследовании сходимости интеграла 171
4.7.9. Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла 174
4.8. Другие виды задач, связанных с несобственными интегралами.181
4.9. Некоторые известные несобственные интегралы.
1. Интегральные синус и косинус 183
2. Интеграл Эйлера-Пуассона 183
3. Интегралы Френеля 184
4. Интегралы Эйлера 184
5. Интеграл Дирихле 184
6. Интегралы Лапласа 184
7. Гамма- и бета-функции 184
8. Интегралы Фруллани 184
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 185
§ 5. Вычисление площади плоской фигуры
5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятия 190
5.2. Квадрируемая фигура и её площадь 191
5.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости. Классы квадрируемых фигур 193
5.4. Площадь в декартовых координатах.
5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно 198
5.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 207
5.4.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F(x,y) = 0 212
5.5. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
5.5.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно 217
5.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 224
5.5.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F{r, <р) = 0 225
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 227
§ 6. Вычисление длины дуги кривой
6.1. Кривая на плоскости и связанные с ней понятия 231
6.2. Спрямляемая кривая и длина её дуги 235
6.3. Основные классы спрямляемых кривых. Вычисление длины дуги.
6.3.1. Случай параметрического задания кривой в декартовых координатах 238
6.3.2. Случай явного задания кривой в декартовых координатах 251
6.3.3. Случай неявного задания кривой в декартовых координатах 253
6.3.4. Случай явного задания кривой в полярных координатах 255
6.3.5. Случай параметрического задания в полярных координатах 258
6.3.6. Случай неявного задания кривой в полярных координатах 259
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 260
§ 7. Вычисление объёмов тел
7.1. Пространственное тело и связанные с ним понятия 264
7.2 Понятие кубируемого тела. Объём тела 267
7.3. Необходимые и достаточные условия кубируемости. Классы кубируемых тел 270
7.4. Вычисление объёма тела по известным площадям поперечных сечений 272
7.5. Объём тела вращения в декартовых координатах
7.5.1. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ох и вращается вокруг оси Ох 278
7.5.2. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ох и вращается вокруг оси Оу 289
7.5.3. Вращение вокруг оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей 296
7.6. Объём тела вращения в полярных координатах
7.6.1. Переход от полярных координат к прямоугольным координатам. 299
7.6.2. Вычисление объёма непосредственно в полярных координатах. 300
7.6.3. Случай вращения вокруг луча (р = Я/2 302
7.6.4. Переход от прямоугольных координат к полярным координатам. 303
7.6.5. Случай вращения вокруг произвольной прямой 305
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 309
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
8.1. Понятие кривой поверхности и способы её задания. Гладкая поверхность. Одно- и двусторонние поверхности 313
8.2. Алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков 318
8.3. Квадрируемость кривой поверхности и её площадь 319
8.4. Поверхность вращения и её площадь 320
8.5. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах 322
8.5.1. Вращение вокруг оси Ох 322
8.5.2. Вращение вокруг оси Оу 330
8.5.3. Вращение вокруг произвольной оси 333
8.6. Площадь поверхности вращения в полярных координатах 338
8.6.1. Вращение вокруг полярной оси 338
8.6.2. Вращение вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси 340
8.6.3. Вращение вокруг произвольной оси 340
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 344
§ 9. Физические приложения определённого интеграла
9.1. Масса плоской кривой 346
9.2. Статические моменты, моменты инерции и центры тяжести плоских кривых и фигур.
9.2.1. Случай плоской кривой 347
9.2.2. Случай плоской фигуры 353
9.3. Вычисление пути, работы переменной силы и другие примеры простейших физических задач 362
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 366
§ 10. Мера и интеграл Лебега
10.1. История вопроса 369
10.2. Используемые понятия.
10.2.1. Эквивалентные множества. Операции над множествами 370
10.2.2. Счётные и несчётные множества 371
10.2.3. Открытые и замкнутые множества 372
10.2.4. Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда 373
10.3. Мера множества 374
10.4. Измеримые функции 376
10.5. Интеграл Лебега.
10.5.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции 379
10.5.2. Связь между интегралами Римана и Лебега. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций 380
10.5.3. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм. 381
10.5.4. Свойства интеграла Лебега 381
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 385
§11. Интеграл Стилтьеса
11.1. Понятие об интеграле Стилтьеса как линейном функционале на пространстве непрерывных функций 386
11.2. Функции ограниченной вариации и их свойства. Определение интеграла Стилтьеса 387
11.3. Условия существования интеграла Стилтьеса 391
11.4. Свойства интеграла Стилтьеса 394
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 399
Ответы и решения 401
Приложение 523
Предметный указатель 524
Список использованной литературы 526
ПРЕДИСЛОВИЕ.
    Раздел математического анализа, связанный с изучением определённого интеграла, его свойств и приложений, относится к наиболее важным разделам современной математики и традиционно включён в учебную программу основных курсов, изучаемых в высших учебных заведениях.
    Существует большое количество учебных пособий и специальной литературы, посвящённых, в том числе, и этой теме (см., например, список используемой литературы). И любой профессионал без труда назовёт ряд изданий, которым он отдаёт предпочтение по глубине и (или) широте охвата изучаемого материала. Эта книга адресована, в первую очередь, именно студенту, впервые изучающему данный раздел.
    Особенностью учебного процесса в университете является, как известно, то, что студенту для изучения заданной темы необходимо в весьма короткий срок, отведённый учебной программой, прослушать цикл лекций и посетить соответствующее количество семинарских (практических) занятий, посвящённых этой теме. Удобно, если при этом под рукой имеется учебное пособие, куда можно заглянуть в случае, если что-то оказалось непонятым на лекции, или же возникло затруднение при решении задачи на семинаре или при выполнении домашнего задания. Конечно, преподаватель на семинарах объясняет новый материал, расставляет акценты, и под его руководством учащиеся разбирают решения типовых задач.
Но, во-первых, время занятия ограничено, а информационная насыщенность может быть очень плотной, и просто невозможно успеть порой и сформулировать, и доказать все необходимые для решения задач свойства, и разобраться в нюансах и существующих подходах к решению той или иной задачи. Во-вторых (это касается, в первую очередь, студентов математических факультетов, более глубоко изучающих все разделы анализа), на семинаре часто не хватает времени даже для осмысливания уже разобранного решения, не говоря уже о том, чтобы иметь достаточно времени для самостоятельного его поиска. И, конечно, надо учитывать психофизические особенности памяти и умение «схватывать» и тут же применять новый материал, которые естественным образом различаются у различных студентов.