Определенный интеграл, Теория и практика вычислений, Садовничая И.В., Хорошилова Е.В., 2008

Определенный интеграл, Теория и практика вычислений, Садовничая И.В., Хорошилова Е.В., 2008.
Издание посвящено теоретическим и практическим аспектам вычисления определенных интегралов, а также методам их оценок, свойствам и приложениям к решению различных геометрических и физических задач. Книга содержит разделы, посвященные методам вычисления собственных интегралов, свойствам несобственных интегралов, геометрическим и физическим приложениям определённого интеграла, а также некоторым обобщениям интеграла Римана - интегралам Лебега и Стилтьеса.
Цель пособия - помочь студенту во время прохождения темы «Определенный интеграл» на лекциях и практических занятиях. К нему может обратиться студент для получения справочной информации по возникшему вопросу. Книга также может быть полезна преподавателям и всем желающим изучить данную тему достаточно подробно и широко.
 

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
§ 1. Определённый интеграл Римана
1.1. Историческая справка
1.2. Определение интеграла Римана
1.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана
1.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению, т.е. переходом к пределу интегральных сумм
1.2.3. Геометрический смысл определённого интеграла
1.2.4. Суммы и интегралы Дарбу
1.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
1.3. Основные классы интегрируемых функций
1.3.1. Функции, непрерывные на сегменте
1.3.2. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Жордану
1.3.3. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу
1.3.4. Функции, монотонные на сегменте
1.3.5. Интегрирование сложных функций
1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами
1.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Ньютона-Лейбница
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 2. Оценки определённых интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства
2.1.Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами.
2.2. Интегральные теоремы о среднем.
2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функции
2.2.2. Вторая теорема о среднем
2.3. Некоторые известные интегральные неравенства.
2.3.1. Неравенство Коши-Буняковского
2.3.2. Неравенство Коши
2.3.3. Неравенство Гёлъдера
23.4. Неравенство Минковского
2.3.5. Неравенства для выпуклых функций
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 3. Основные методы вычисления определённых интегралов
3.1. Интегрирование путём сведения к табличным (или известным) интегралам с помощью различных преобразований
3.2. Интегрирование путём замены переменной
3.3. Интегрирование по частям
3.4. Другие способы вычисления определённых интегралов
3.5. Интегрирование специальных классов функций
3.5.1. Интегрирование периодических функций
3.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования
3.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 4. Несобственные интегралы
4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла.
4.1.1. Несобственный интеграл 1-города
4.1.2. Несобственный интеграл 2-города
4.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши).
4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченном промежутке
4.2.2. Сходимость в смысле главного значения (по Коши)
4.2.3. Среднее значение несобственного интеграла
4.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственного интеграла
4.4. Свойства несобственного интеграла
4.5. Теоремы о среднем
4.6. Вычисление несобственных интегралов.
4.6.1. Формула Ньютона-Лейбница
4.6.2. Формула замены переменной
4.6.3. Формула интегрирование по частям
4.7. Исследование сходимости несобственных интегралов
4.7.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов от неотрицательных функций. Теорема сравнения
4.7.2. 1-й признак сравнения (признак абсолютной сходимости)
4.7.3. 2-й признак сравнения
4.7.4. 3-й признак сравнения (признак сравнения со степенью)
4.7.5. Признак Дирихле
4.7.6. Признак Абеля
4.7.7. Признак Коши
4.7.8. Использование формулы Тейлора при исследовании сходимости интеграла
4.7.9. Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла .
4.8. Другие виды задач, связанных с несобственными интегралами.
4.9. Некоторые известные несобственные интегралы.
1. Интегральные синус и косинус
2. Интеграл Эйлера-Пуассона
3. Интегралы Френеля
4. Интегралы Эйлера
5. Интеграл Дирихле
6. Интегралы Лапласа
7. Гамма- и бета-функции
8. Интегралы Фруллани
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 5. Вычисление площади плоской фигуры
5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятия
5.2. Квадрируемая фигура и её площадь
5.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости. Классы квадрируемых фигур
5.4. Площадь в декартовых координатах.
5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно
5.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически.
5.4.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F(x,y) = 0
5.5. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
5.5.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно
5.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически.
5.5.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F{r, <р) = 0
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 6. Вычисление длины дуги кривой
6.1. Кривая на плоскости и связанные с ней понятия
6.2. Спрямляемая кривая и длина её дуги
6.3. Основные классы спрямляемых кривых. Вычисление длины дуги.
6.3.1. Случай параметрического задания кривой в декартовых координатах
6.3.2. Случай явного задания кривой в декартовых координатах
6.3.3. Случай неявного задания кривой в декартовых координатах
6.3.4. Случай явного задания кривой в полярных координатах
6.3.5. Случай параметрического задания в полярных координатах
6.3.6. Случай неявного задания кривой в полярных координатах
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 7. Вычисление объёмов тел
7.1. Пространственное тело и связанные с ним понятия
7.2 Понятие кубируемого тела. Объём тела
7.3. Необходимые и достаточные условия кубируемости. Классы кубируемых тел
7.4. Вычисление объёма тела по известным площадям поперечных сечений
7.5. Объём тела вращения в декартовых координатах
7.5.1. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ох и вращается вокруг оси Ох
7.5.2. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ох и вращается вокруг оси Оу
7.5.3. Вращение вокруг оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей
7.6. Объём тела вращения в полярных координатах
7.6.1. Переход от полярных координат к прямоугольным координатам.
7.6.2. Вычисление объёма непосредственно в полярных координатах.
7.6.3. Случай вращения вокруг луча (р = R/2)
7.6.4. Переход от прямоугольных координат к полярным координатам. .
7.6.5. Случай вращения вокруг произвольной прямой 305
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
8.1. Понятие кривой поверхности и способы её задания. Гладкая поверхность. Одно- и двусторонние поверхности
8.2. Алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков
8.3. Квадрируемость кривой поверхности и её площадь
8.4. Поверхность вращения и её площадь
8.5. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах
8.5.1. Вращение вокруг оси Ох
8.5.2. Вращение вокруг оси Оу
8.5.3. Вращение вокруг произвольной оси
8.6. Площадь поверхности вращения в полярных координатах
8.6.1. Вращение вокруг полярной оси
8.6.2. Вращение вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси
8.6.3. Вращение вокруг произвольной оси
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 9. Физические приложения определённого интеграла
9.1. Масса плоской кривой
9.2. Статические моменты, моменты инерции и центры тяжести плоских кривых и фигур.
9.2.1. Случай плоской кривой
9.2.2. Случай плоской фигуры
9.3. Вычисление пути, работы переменной силы и другие примеры простейших физических задач
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§ 10. Мера и интеграл Лебега
10.1. История вопроса
10.2. Используемые понятия.
10.2.1. Эквивалентные множества. Операции над множествами
10.2.2. Счётные и несчётные множества
10.2.3. Открытые и замкнутые множества
10.2.4. Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда
10.3. Мера множества
10.4. Измеримые функции
10.5. Интеграл Лебега.
10.5.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции
10.5.2. Связь между интегралами Римана и Лебега. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций
10.5.3. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм.
10.5.4. Свойства интеграла Лебега
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
§11. Интеграл Стилтьеса
11.1. Понятие об интеграле Стилтьеса как линейном функционале на пространстве непрерывных функций
11.2. Функции ограниченной вариации и их свойства. Определение интеграла Стилтьеса
11.3. Условия существования интеграла Стилтьеса
11.4. Свойства интеграла Стилтьеса
Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения
Ответы и решения
Приложение
Предметный указатель
Список использованной литературы
1.3.3. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу
Числовое множество X называется множеством меры нуль (по Лебегу), если для любого числа ? > О существует конечная или счётная система интервалов, покрывающих все точки множества X , причём сумма длин этих интервалов меньше ?.
Приведём без доказательства теорему, отражающую необходимые и достаточные условия интегрируемости функции на заданном сегменте (по Риману).
Теорема 3 (критерий Лебега интегрируемости функции). Функция f(x) интегрируема на сегменте [а,Ь] тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль по Лебегу.
Доказательство этого факта можно найти, например, в книге [1] (глава 8, 7) .
Следствие. Можно показать, что любое счётное числовое множество имеет меру нуль по Лебегу. Таким образом, функции, ограниченные и имеющие на некотором сегменте счётное число точек разрыва, всегда интегрируемы на этом сегменте3.