Обыкновенные дифференциальные уравнения, Задачи и примеры с решениями, Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., 2002

Обыкновенные дифференциальные уравнения, Задачи и примеры с решениями, Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., 2002.

   В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами.
Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций.
В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, задачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем. Представлены также метод последовательных приближений, особые решения дифференциальных уравнений, уравнения с малым параметром при производной.
Приводится более 100 примеров с подробными решениями.
   Метод изоклин
Уравнение
y' = f(x,y)                                            (1)
определяет в каждой точке (ж,у), где существует функция f(x, у), значение у', т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке.
Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в области D задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле направлений.
Тройка чисел (х;у;у') определяет направление прямой, проходящей через точку (х, у). Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.
Задача интегрирования дифференциального уравнения (I) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.
Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых-касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением
f(x, у) = к,                                       (2)
где к — параметр. Придавая параметру к близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального Уравнения (1).
Оглавление
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 3
§ 1. Основные понятия и определения 3
§ 2. Метод изоклин 9
§3. Метод последовательных приближений 15
§4. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним 18
§5. Уравнения однородные и приводящиеся к ним 26
1. Однородные уравнения 26
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным 28
§6. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 32
1°. Линейные уравнения первого порядка 32
2°. Уравнение Бернулли 37
§7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 40
1°. Уравнения в полных дифференциалах 40
2°. Интегрирующий множитель 42
§8. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 45
1. Уравнения первого порядка n-й степени относительно у1 45
2°. Уравнения вида f(yy у') = 0 и f(x, у1) = 0 47
3°. Уравнения Лагранжа и Клеро 49
§9. Уравнение Риккати 51
§ 10. Составление дифференциальных уравнений семейств линий. Задачи на траектории 53
1. Составление дифференциальных уравнений семейств линий 53
2°. Задачи на траектории 55
§11. Особые решения дифференциальных уравнений 58
§ 12. Разные задачи 67
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 69
§ 13. Основные понятия и определения 69
§ 14. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 71
§15. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка 79
1. Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Определитель Грама 79
2°. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 86
3°. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами ?9
4°. Уравнения Эйлера 103
5°. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа 105
6°. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений 110
7°. Разные задачи 112
§ 16. Метод изоклин для дифференциальных уравнений второго порядка 114
§ 17. Краевые задачи 116
§ 18. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 121
1. Разложение решения в степенной ряд 121
2°. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Уравнение Бесселя 127
3°. Нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений 137
4°. Асимптотическое интегрирование 140
5°. Приложения к интегрированию дифференциальных уравнений 143
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 148
§ 19. Основные понятия и определения 148
§20. Метод исключения (сведение системы дифференциальных уравнений к одному уравнению) 157
§21. Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений 161
1. Нахождение интегрируемых комбинаций 161
2°. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений 167
§ 22. Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера 169
§23. Методы интегрирования неоднородных линейных систем с постоянными коэффициентами 175
1°. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 176
2°. Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора) 178
3°. Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера) 182
§24. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем 185
1. Общие сведения о преобразовании Лапласа 185
2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 188
3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 191
Глава 4. Теория устойчивости 195
§25. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения 195
§26. Простейшие типы точек покоя 199
§27. Метод функций Ляпунова 204
§28. Устойчивость по первому приближению 209
§29. Устойчивость решений дифференциальных уравнений по отношению к изменению правых частей уравнений 213
§30. Критерий Рауса—Гурвица 215
§31. Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова) 217
§32. Уравнения с малым параметром при производной 219
Ответы 224
Приложение 1 248
Некоторые формулы из дифференциальной геометрии 248
Приложение 2 249
Основные оригиналы и их изображения 249