Общий курс математического анализа в сжатом изложении, Романовский П.И., 1962

Общий курс математического анализа в сжатом изложении, Романовский П.И., 1962.
   Настоящая книга содержит сжатое изложение теоретической части общего курса матанализа для ВТУЗов. В нее не вошли дополнительные и специальные главы курса математики, излагаемые на некоторых факультетах ВТУЗов, однако в нее вошли доказательства многих таких предложений, которые в практике преподавания обычно формулируются без доказательства или только упоминаются вскользь. Нетрадиционным является отнесение к общему курсу анализа и включение в книгу основ вариационного исчисления, овладение которыми стало ныне необходимо для многих инженерных специальностей.
Книга в целом не предназначена для первоначального изучения курса матанализа студентами, но может быть полезна при повторении курса и подготовке к экзаменам. С другой стороны, книга может быть использована для углубленного изучения тех мест курса анализа, которые принято излагать без достаточных оснований.
   Функции. Мы будем предполагать известными основные сведения о действительных и комплексных числах, начальные сведения о функциях, основные факты, относящиеся к элементарным функциям.
Напомним некоторые определения.
Если каждому значению переменной величины х1 принадлежащему заданному множеству чисел, соответствует одно или несколько- значений переменной величины у, принадлежащих некоторому множеству чисел, то у называется функцией от х; при этом х называется аргументом. Если каждому значению аргумента отвечает одно значение функции, то функция называется однозначной (в противном случае — многозначной). Совокупность значений аргумента образует область определения функции, совокупность значений функции образует область значений функции.
Мы будем рассматривать в этой книге в основном действительные функции действительного переменного (или действительных переменных). В отдельных случаях, что всякий раз будет оговариваться, будут рассматриваться также комплексные функции действительного переменного (комплекснозначные функции) и комплексные функции комплексного переменного.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава I. Введение в анализ 7
§ 1. Функции и графики 7
§ 2. Пределы 11
§ 3. Некоторые замечательные пределы 23
§ 4. Непрерывные функции 26
Глава II. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 35
§ 5. Производная 36
§ 6. Техника дифференцирования 39
§ 7. Техника дифференцирования (продолжение) 43
§ 8. Дифференциал 46
§ 9. Производные высших порядков 43
§ 10. Основные теоремы дифференциального исчисления 51
§ 11. Параметрические уравнения кривых 56
§ 12. Возрастание и убывание функций 60
§ 13. Формула Тейлора 62
§ 14. Экстремумы функций 65
§ 15. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 68
§ 16. Приближенное решение уравнений способом хорд и касательных 71
§ 17. Соприкасающийся круг 73
§ 18. Интерполирование 76
Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 81
§ 19. Функции нескольких переменных 81
§ 20. Неявные функции 86
§ 21. Геометрические приложения частных производных
§ 22. Полный дифференциал 93
§ 23. Экстремумы функций многих переменных 90
§ 24. Частные производные высших порядков юо
Глава IV. Интегральное исчисление функций одного переменного 106
§ 25. Определенный интеграл как предел суммы 106
§ 26. Теоремы о среднем для определенного интеграла и определенный интеграл с переменным верхним пределом 114
§ 27. Неопределенный интеграл. Связь между определенным и неопределенным интегралами П8
§ 28. Интегрирование подстановкой и интегрирование по частям. Несобственные интегралы 122
§ 29. Интегрирование рациональных функций 127
§ 30. Интегрирование тригонометрических выражений 135
§ 31. Интегрирование иррациональностей 137
§ 32. Площади и объемы 141
§ 33. Гиперболические функции 146
§ 34. Спрямление дуг и площади поверхностей вращения 150
§ 35. Кривизна плоских кривых 155
§ 36. Приближенное вычисление интегралов 157
Глава V. Интегральное исчисление функций многих переменных 163
§ 37. Интегралы, зависящие от параметра 163
§ 38. Криволинейные интегралы 166
§ 39. Интегрирование полных дифференциалов 172
§ 40. Двойные интегралы 176
§ 41. Формула Грина 183
§ 42. Замена переменных в двойном интеграле и приложения двойных интегралов 188
§ 43. Поверхностные интегралы 194
§ 44. Тройные интегралы 197
§ 45. Замена переменных в тройном интеграле 204
Глава VI. Ряды 208
§ 46. Числовые последовательности и ряды 208
§ 47. Несобственные интегралы как аналоги ряда 212
§ 48. Признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами 217
§ 49. Числовые ряды с любыми членами 220
§ 50. Функциональные последовательности и ряды 226
§ 51. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 231
§ 52. Степенные ряды 235
§ 53. Операции над степенными рядами 244
§ 54. Начальные сведения о рядах Фурье 247
Глава VII. Дифференциальные уравнения 256
§ 55. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 256
§ 56. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка 260
§ 57. Некоторые дифференциальные уравнения высших порядков 266
§ 58. Существование решений дифференциальных уравнений 269
§ 59. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 277
§ 60. Понятие о способе Адамса — Крылова приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка 281
§ 61. Линейные однородные дифференциальные уравнения 284
§ 62. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 292
§ 63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами 294
§ 64. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями 299
§ 65. Системы линейных дифференциальных уравнений 302
§ 66. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 305
Глава VIII. Вариационное исчисление 311
§ 67. Понятие о вариации функционала 311
§ 68. Необходимые условия экстремума для простейших вариационных задач 314
§ 69. Поле экстремалей 326