Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов, Петров Ю.П., 2012

Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов, Петров Ю.П., 2012.
  В книге дан анализ ошибок и неточностей, недавно обнаруженных в традиционных методах расчета и популярных пакетах прикладных программ (MATLAB, Mathcad и др.), и их связь с открытыми в Санкт-Петербургском государственном университете (СПбГУ) новыми свойствами эквивалентных (равносильных) преобразований. Эти ошибки и неточности расчетов являются причиной многих аварий и катастроф. В книге изложены пути совершенствования методов расчета и вычислительных алгоритмов для обеспечения достоверности результатов расчета, приведены многочисленные примеры.
Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных автором в СПбГУ на факультете прикладной математики — процессов управления.

Традиционные методы проверки корректности. Ошибки и заблуждения.
Поскольку сколь угодно малые отклонения действительных значений коэффициентов и параметров математической модели от их расчетных значений в технических задачах неизбежны, то расчет объектов, математические модели которых имеют некорректные решения, чаще всего не имеет смысла и может привести к серьезным ошибкам. Существуют особые методы подхода к задачам с некорректными решениями (регуляризация и т. п.), о которых мы далее расскажем, но если не заметить некорректности решения и решать задачу с некорректными решениями обычными методами, как задачу корректную, то ошибки почти всегда неизбежны.
Поэтому перед практическим использованием решения любой технической или экономической задачи следует обязательно проверить — будет ли это решение корректным.
Существуют два основных метода проверки корректности:
1. Индивидуальная проверка.
2. Использование результатов исследования корректности для различных классов математических моделей.
Индивидуальная проверка заключается в том, что вычисление решения повторяется несколько раз, причем каждый раз — при немного измененных значениях коэффициентов и параметров (иногда этот подход называют "методом "покачивания" коэффициентов").
Пример индивидуальной проверки уже приводился в первой главе, и там же было показано, что в задачах с большим количеством коэффициентов и параметров для проверки корректности может потребоваться огромное количество повторных вычислений — порядка 2n, где п — число коэффициентов и (или) параметров, влияние вариаций которых на корректность решения мы хотим исследовать.
Оглавление
Предисловие
ЧАСТЬ I
Глава 1. Простые примеры и первые выводы
§1. Первый пример
§2. Пример системы дифференциальных уравнений, не имеющей непрерывной зависимости решений от параметров
§3. Пример решения технической задачи проверки устойчивости
§4. Выводы
Глава 2. Корректность решений и традиционные методы ее проверки
§1. Вариации коэффициентов и параметров
§2. Вариации решений. Корректные и некорректные решения
§3. Традиционные методы проверки корректности. Ошибки и заблуждения
Пример № 1
Пример № 2
Пример № 3
Глава 3. Эквивалентные (равносильные) преобразования и их недавно обнаруженные новые свойства
§1. Преобразования, эквивалентные в классическом смысле
§2. Преобразования, связанные с дифференцированием
§3. Неожиданно обнаруженные изменения корректности решений при эквивалентных преобразованиях
§4. Изменения обусловленности решений систем линейных алгебраических уравнений при эквивалентных преобразованиях
§5. Оценка погрешностей вычисления определителей и решений систем алгебраических уравнений
Глава 4. Выявленные недостатки в традиционных методах вычислений и пути их исправления
§1. Недостатки традиционных методов расчета параметрической устойчивости линейных систем
§2. Причины потери параметрической устойчивости и связанных с нею аварий
§3. Методы обеспечения надежности расчетов устойчивости линейных систем управления
§4. Недостатки традиционных методов расчета устойчивости нелинейных систем. Существование функции Ляпунова не гарантирует устойчивости
§5. Неточности в расчетах устойчивости по части переменных
§6. Неточности в теории дифференциальных уравнений
§7. Другие вычислительные алгоритмы
A. Синтез оптимальных систем управления
Б. Интегральные уравнения
B. Алгоритмы, использующие цепочки эквивалентных преобразований
§8. Ошибки, обнаружившиеся в популярных пакетах прикладных программ (MATLAB, Mathcad и др.), и методы предотвращения ошибок при расчетах
А. Ошибки в программах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Б. Ошибки в программах расчета устойчивости
ЧАСТЬ II
Глава 5. Более сложные примеры обеспечения надежности вычислений
§1. Связь между вариациями параметров объекта и вариациями коэффициентов его математической модели
§2. Возможность проверки корректности по коэффициентам математической модели
§3. Аварии и катастрофы, связанные с несовершенством методов компьютерных вычислений. Их особенности
§4. Объяснение трудностей выявления новых свойств эквивалентных преобразований и существования "особых" систем
§5. Необходимость исследования "триад"
§6. Примеры различных "триад" и "диад"
Первая триада: проверка устойчивости
Вторая триада: проверка устойчивости другим методом
Третья триада: использование функций Ляпунова
Четвертая триада: вычисление собственных значений
Пятая триада: численное решение систем дифференциальных уравнений
Шестая триада: решение с дополнительными проверками
Седьмая триада: дифференциальные уравнения, частные случаи
Восьмая триада: интегральные уравнения
Первая диада: вещественные корни полиномов
Вторая диада: комплексные корни полиномов
Третья диада: задача на максимум и минимум
Глава 6. Примеры и задачи
§1. Примеры проверки надежности результатов вычисления решений систем уравнений
Пример 1. Математическая модель особого объекта
Пример 2. Проверка устойчивости
Пример 3. Проверка устойчивости невырожденной системы
Пример 4. Вычисление решений системы дифференциальных уравнений
Пример 5. Дополнительные проверки, восстанавливающие надежность и достоверность компьютерных вычислений
Пример 6. Возможное изменение знака коэффициентов при младших членах характеристического полинома
Пример 7. Система из трех дифференциальных уравнений с тремя переменными
§2. Примеры обеспечения надежности расчета технических объектов
Пример 8. Оптимальное управление судами
Пример 9. Расчет строительных конструкций
Пример 10. Вычисление частот малых колебаний
Пример 11. Строительная механика
§3. Задачи
Заключение
Приложение. Анализ катастроф, причины которых связаны с неточностями методов проектирования и расчета
Примечания
Примечание 1 (к стр. 44)
Примечание 2 (к стр. 146)
Литература
Предметный указатель.