Новые методы хаотической динамики, Магницкий Н.А., Сидоров С.В., 2004

Новые методы хаотической динамики, Магницкий Н.А., Сидоров С.В., 2004.
  В книге представлена во многих случаях отличная от традиционной точка зрения авторов на принципы формирования, сценарии возникновения и способы управления хаотическими режимами поведения в нелинейных диссипативных динамических системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных диффузионного типа и уравнениями с запаздывающим аргументом.
Показано, что во всех таких системах реализуется один универсальный сценарий перехода к хаосу. Найден и теоретически обоснован механизм такого сценария. Все аналитические результаты и выводы подтверждены расчетами, снабжены примерами и многочисленными рисунками.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, интересующихся проблемами синергетики, нелинейной и хаотической динамики.

Классические нерегулярные аттракторы диссипативных динамических систем.
В современной литературе используется несколько различных определений сложных (нерегулярных) аттракторов, отражающих разные стороны нерегулярности поведения принадлежащих им траекторий. Основной смысл всех определений заключается в том, что на самом нерегулярном аттракторе движение должно быть неустойчивым: траектории системы должны быстро расходиться, оставаясь на аттракторе. При этом поведение решений диссипативной системы с нерегулярным аттрактором будет характеризоваться сочетанием глобального сжатия фазового объема с локальной неустойчивостью отдельных фазовых траекторий.
Однако существование большинства классических нерегулярных аттракторов доказано исключительно для дискретных диссипативных динамических систем (отображений или каскадов). Последнее обстоятельство определяет содержание настоящего параграфа, вынуждая рассмотреть несколько важных интересных примеров не из области диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Оглавление
Предисловие
Введение
Глава 1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1.1. Основные определения и теоремы
1.1.1. Поля направлений и их интегральные кривые
1.1.2. Векторные поля, дифференциальные уравнения, интегральные и фазовые кривые
1.1.3. Теоремы существования и единственности решений
1.1.4. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров. Уравнения в вариациях
1.1.5. Диссипативные и консервативные системы уравнений
1.1.6. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1.1.7. Некорректность численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1.2. Особые точки и их инвариантные многообразия
1.2.1. Особые точки систем дифференциальных уравнений
1.2.2. Устойчивость особых точек и стационарных решений
1.2.3. Инвариантные многообразия
1.2.4. Особые точки линейных векторных полей
1.2.5. Сепаратрисы особых точек. Гомоклинические и гетероклинические траектории. Сепаратрисные контуры
1.3. Периодические и непериодические решения, предельные циклы и инвариантные торы
1.3.1. Периодические решения
1.3.2. Предельные циклы
1.3.3. Отображение Пуанкаре
1.3.4. Инвариантные торы
1.3.5. Непериодические решения. Показатели Ляпунова
1.4. Аттракторы автономных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1.4.1. Основные определения
1.4.2. Классические регулярные аттракторы диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1.4.3. Классические нерегулярные аттракторы диссипативных динамических систем
1.4.4. Размерность аттракторов. Фракталы
Глава 2. Бифуркации в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений
2.1. Структурная устойчивость и бифуркации
2.1.1. Структурная устойчивость
2.1.2. Бифуркации
2.2. Однопараметрические локальные бифуркации
2.2.1. Бифуркации устойчивых особых точек
2.2.2. Бифуркации устойчивых предельных циклов
2.2.3. Бифуркации устойчивых двумерных торов
2.3. Простейшие двухпараметрические локальные бифуркации
2.3.1. Нормальная форма складки
2.3.2. Нормальная форма сборки
2.4. Нелокальные бифуркации
2.4.1. Бифуркации гомоклинических сепаратрисных контуров
2.4.2. Бифуркации гетероклинических сепаратрисных контуров
2.4.3. Приближенный метод нахождения точек бифуркаций гомоклинических и гетероклинических контуров
2.4.4. Каскады бифуркаций. Сценарии перехода к хаосу
2.4.5. Бифуркации нерегулярных аттракторов
Глава 3. Хаотические системы обыкновенных дифференциальных уравнений
3.1. Система уравнений Лоренца
3.1.1. Классический сценарий рождения аттрактора Лоренца
3.1.2. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций
3.1.3. Сценарий рождения полного двойного гомоклинического аттрактора в системе Лоренца
3.1.4. Бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров в системе уравнений Лоренца
3.1.5. Диаграммы нелокальных бифуркаций в системе уравнений Лоренца
3.2. Комплексная система уравнений Лоренца
3.2.1. Сценарий перехода к хаосу
3.3. Системы уравнений Ресслера
3.4. Система Чуа
3.5. Некоторые другие хаотические системы обыкновенных дифференциальных уравнений
3.5.1. Системы Валлиса
3.5.2. Система Рикитаки
3.5.3. Система "Simple"
3.5.4. Система Рабиновича-Фабриканта
3.6. Заключительные замечания и выводы
Глава 4. Основы теории динамического хаоса в системах обыкновенных дифференциальных уравнений
4.1. Теория одномерных гладких отображений
4.1.1. Монотонные обратимые отображения
4.1.2. Немонотонные отображения
4.2. Каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода циклов одномерных отображений
4.2.1. Логистическое отображение
4.2.2. Оператор удвоения периода
4.2.3. Универсальность Фейгенбаума
4.2.4. Размерность аттрактора Фейгенбаума
4.3. Субгармонический каскад бифуркаций Шарковского циклов одномерных отображений
4.3.1. Теорема Шарковского
4.3.2. За каскадом Фейгенбаума
4.4. Регулярные и сингулярные устойчивые и седловые циклы трехмерных автономных систем. Особые точки типа "ротор"
4.4.1. Регулярные и сингулярные предельные циклы
4.4.2. Особые точки типа "ротор"
4.5. Природа сингулярных аттракторов трехмерных автономных систем
4.5.1. Структура двумерной сепаратрисной поверхности седлового сингулярного цикла
4.5.2. Механизм рождения сингулярных аттракторов. Каскады бифуркаций Фейгенбаума и Шарковского
4.5.3. Гомоклинический и более сложные каскады бифуркаций
4.6. Некотрые примеры систем с сингулярными аттракторами
4.7. Заключительные замечания и выводы
Глава 5. Динамический хаос в бесконечномерных системах дифференциальных уравнений
5.1. Регулярная динамика и диффузионный хаос в системах уравнений "реакция-диффузия"
5.2. Переход к хаосу в маломодовом приближении для уравнения Курамото-Цузуки.
5.3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом
5.4. Циклы и хаос в распределенных экономических системах
5.4.1. Описание модели саморазвивающейся рыночной экономики
5.4.2. Исследование поведения макроэкономических показателей
5.4.3. Некоторые аспекты поведения экономических показателей при наличии диффузии капитала и спроса
Глава 6. Управление хаосом в системах дифференциальных уравнений
6.1. Методы Отта-Гребоджи-Йорке и Пирагаса
6.1.1. OGY-метод
6.1.2. Метод Пирагаса
6.2. Метод Магницкого
6.2.1. Локализация и стабилизация неустойчивых неподвижных точек и циклов хаотических отображений
6.2.2. Локализация и стабилизация неустойчивых неподвижных точек хаотических динамических систем
6.2.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов хаотических динамических систем
6.2.4. Управление хаосом в уравнениях с запаздывающим аргументом
6.2.5. Стабилизация термодинамической ветви в системах уравнений "реакция-диффузия"
6.3. Реконструкция динамической системы по траектории нерегулярного аттрактора
Список литературы.