Нестандартные задачи по математике, Алгебра, 7-11 класс, Галкин Е.В., 2004

Нестандартные задачи по математике, Алгебра, 7-11 класс, Галкин Е.В., 2004.
   Учебное пособие предназначено для подготовки учащихся к олимпиадам по математике и к единому государственному экзамену по математике (часть С). Значительная часть книги может быть использована в профильных классах и классах с углубленным изучением математики.
Система расположения материала, наличие теоретических сведений и опорных задач дают возможность самостоятельно обучаться решению задач повышенной трудности по математике.
Книга будет полезна как школьникам 7-11 классов, так и учителям для занятий с учащимися на уроках, в кружках или на факультативах.
   Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках: обобщении, конкретизации, анализе, синтезе и др. Книга, которую вы держите в руках, создана для реализации именно этих задач математического образования.
Она предназначена для учителей и учащихся 7—11 классов и содержит задачи по математике, которые можно использовать при подготовке к олимпиадам различного уровня.
Кроме того, особую важность книга имеет в связи с проведением эксперимента по внедрению процедуры итоговой аттестации выпускников и вступительных экзаменов в формате ЕГЭ. В части С этого экзамена предлагаются именно нестандартные задачи, содержащие несколько этапов и ключевых моментов, аналогичных тем, которые возникают в период решения олимпиадных заданий.
Подбор, систематизация и описание методов решения задач в пособии делают его полезным для профильных классов и классов с углубленным изучением математики.
При решении данных задач развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять способы решения задач в практической деятельности, использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 5
ГЛАВА I. ТОЖДЕСТВА 6
§ 1. Делимость многочленов 6 9—11
1.1 6 9-11
1.2 9 9-11
1.3 18 9-11
§ 2. Другие задачи на многочлены 21 10—11
§ 3. Тождественные преобразования выражений 27 8—11
3.1 27 8-9
3.2 30 9-11
3.3 33 9-11
3.4 35 9-11
§ 4. Условные тождества 39 9—11
4.1 39 9-11
4.2* 42 10-11
§ 5. Последовательности 48 9—11
5.1 48 9-11
5.2 51 9-11
5.3* 55 10-11
§ 6. Прогрессии 60 9—11
6.1 60 9-11
6.2 66 9-11
6.3 69 9-11
ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 72
§ 7. Алгебраические уравнения 72 9—11
7.1 72 9-11
7.2 73 9-11
7.3 77 10-11
7.4 79 9-11
7.5 81 10-11
7.6 83 10-11
§ 8. Системы алгебраических уравнений 86 7—11
8.1 86 7-9
8.2 89 9-11
8.3 95 10-11
8.4 98 10-11
8.5 101 10-11
8.6 103 10-11
§ 9. Дробно-рациональные уравнения 108 9—11
9.1 108 9-11
9.2 Ill 10-11
9.3 113 10-11
§ 10. Системы рациональных уравнений 114 9—11
10.1 114 9-11
10.2 116 10-11
10.3 119 10-11
10.4 120 10-11
§ 11. Иррациональные уравнения 124 9—11
11.1 124 9-11
11.2 128 10-11
11.3 130 10-11
11.4 131 10-11
11.5* 133 10-11
§ 12. Системы уравнений, содержащие иррациональные уравнения 136 9—11
12.1 136 9-11
12.2 138 9-11
12.3* 142 10-11
§ 13. Уравнения и системы уравнений, у которых число неизвестных больше числа уравнений 145 9—11
13.1 145 9-11
13.2 149 9-11
§ 14. Составление уравнений (задачи на движение) 154 8—11
14.1 154 8-9
14.2 158 8-9
14.3 161 8-9
14.4 165 9-11
§ 15. Другое задачи на составление уравнений 171 8—11
15.1 171 8-9
15.2 175 8-11
15.3 180 8-11
ГЛАВА III. НЕРАВЕНСТВА 184
§ 16. Положительные и отрицательные числа 184 7—9
§ 17. Сравнение чисел 188 8—11
17.1 188 8-11
17.2 192 8-9
§ 18. Доказательство неравенств 194 9—11
18.1 194 9-11
18.2* 203 10-11
§ 19. Доказательство неравенств с помощью теоретических неравенств 205 9— 11
19.1 205 9-11
19.2 208 10-11
19.3 213 10-11
19.4 215 9-11
19.5 218 9-11
§ 20. Доказательство неравенств с помощью специальных методов 220 9— 11
20.1 220 9-11
20.2 223 10-11
20.3 226 10-11
§21. Доказательство условных неравенств 231 9—11
§ 22. Разные задачи на неравенства 240 9—11
22.1 240 9-11
22.2* 244 10-11
ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ 257
§ 23. Тригонометрические тождества 259 10—11
23.1 259 10-11
23.2 263 10-11
23.3 266 10-11
23.4 271 10-11
§ 24. Условные тригонометрические тождества 276 10—11
24.1 276 10-11
24.2 279 10-11
24.3 282 10-11
24.4 285 10-11
§ 25. Тригонометрические уравнения 288 10—11
25.1 288 10-11
25.2 289 10-11
25.3 291 10-11
25.4* 293 10-11
25.5 296 10-11
25.6* 300 10-11
25.7 306 10-11
§ 26. Доказательство тригонометрических неравенств 309 10—11
26.1 309 10-11
26.2 312 10-11
26.3 313 10-11
26.4* 314 10-11
26.5* 318 10-11
§ 27. Доказательство условных тригонометрических неравенств 321 10—11
27.1 321 10-11
27.2 323 10-11
27.3* 327 10-11
ГЛАВА V. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ 330
§ 28. Наибольшие и наименьшие значения выражений 330 9—11
28.1 330 9-11
28.2 333 9-11
28.3 336 9-11
28.4 338 9-11
28.5 339 9-11
28.6* 341 10-11
§ 29. Иррациональные числа 347 9—11
§ 30. Функциональные уравнения 354 9—11
30.1 354 9-11
30.2 360 10-11
30.3* 366 10-11
§ 31. Целая и дробная часть числа 373 10—11
31.2* 377 10-11
31.3 379 10-11
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 382
Глава I. ТОЖДЕСТВА 382
§ 1. Делимость многочленов 382
§ 2. Другие задачи на многочлены 383
§ 3. Тождественные преобразования выражений 384
§ 4. Условные тождества 385
§ 5. Последовательности 386
§ 6. Прогрессии 387
Глава II. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 390
§ 7. Алгебраические уравнения 390
§ 8. Системы алгебраических уравнений 392
§ 9. Дробно-рациональные уравнения 394
§ 10. Системы рациональных уравнений 395
§ 11. Иррациональные уравнения 396
§ 12. Системы уравнений, содержащие иррациональные уравнения 397
§ 13. Уравнения и системы уравнений, у которых число неизвестных больше числа уравнений 398
§ 14. Составление уравнений (задачи на движение) 400
§ 15. Другие задачи на составление уравнений 404
Глава III. НЕРАВЕНСТВА 406
§ 16. Положительные и отрицательные числа 406
§ 17. Сравнение чисел 407
§ 18. Доказательство неравенств 409
§ 19. Доказательство неравенств с помощью теоретических неравенств 410
§ 20. Доказательство неравенств с помощью специальных методов 413
§ 21. Доказательство условных неравенств 414
§ 22. Разные задачи на неравенства 417
Глава IV. ЗАДАЧИ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ 422
§ 23. Тригонометрические тождества 422
§ 24. Условные тригонометрические тождества 423
§ 25. Тригонометрические уравнения 424
§ 26. Доказательство тригонометрических неравенств 430
§ 27. Доказательство условных тригонометрических неравенств 432
Глава V. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ 433
§ 28. Наибольшие и наименьшие значения выражений 433
§ 29. Иррациональные числа 435
§ 30. Функциональные уравнения 436
§ 31. Целая и дробная часть числа 439
ЛИТЕРАТУРА 441