Многообразия Эйнштейна, Том 1, Бессе А., 1990

Многообразия Эйнштейна, Том 1, Бессе А., 1990.
  Книга известного французского математика, посвященная одному из современных и активно развивающихся направлений геометрии. Многообразия Эйнштейна - это многомерный аналог поверхностей постоянной кривизны, которые возникли в общей теории относительности и связаны с кэлеровой и кватернионной геометрией, алгебраическими поверхностями и полями Янга - Миллса. Автор начинает с основных понятий и дает обзор применяемых методов в различных приложениях.
Для математиков (геометров, специалистов по группам Ли, алгебраической геометрии, функциональному анализу), для физиков-теоретиков, аспирантов и студентов университетов.

Зачем нужна книга о многообразиях Эйнштейна?
В сентябре 1979 г. в Эспальоне, во Франции, состоялся симпозиум по многообразиям Эйнштейна. Именно там я понял, что о них стоит написать книгу. Тема, кажется, уже вполне созрела: хотя многие фундаментальные вопросы все еще остаются открытыми, сделаны и большие успехи - в частности, благодаря доказательству гипотезы Калаби (которое дали Т. Обин в случае отрицательной скалярной кривизны и С.Т. Яу в случае неположительной кривизны), а также результатам, полученным Н. Коисо для пространств модулей. Сейчас исследования в этой области быстро развиваются. Кроме того, известно уже довольно много примеров многообразий Эйнштейна разных типов.
Многообразия Эйнштейна не только интересны сами по себе, но и связаны с многими важными областями римановой геометрии: с римановыми субмерсиями, однородными римановыми пространствами, римановыми функциями и их критическими точками, теорией Янга - Миллса, четырехмерными автодуальными многообразиями, группами голономии, кватернионными многообразиями и, наконец, через теорию КЗ-поверхностей с алгебраической геометрией. Все эти области сейчас процветают. В то же время связей между многообразиями Эйнштейна и геодезическими, а также спектром лапласиана, кажется, пока не установлено).
Оглавление
От переводчика
От автора
Глава 0. Введение
A. Определения и краткие пояснения
B. Зачем нужна книга о многообразиях Эйнштейна?
C. Существование
D. Примеры
E. Единственность и модули
Е. Краткий обзор содержания по главам
G. Путеводитель
H. Как почувствовать кривизну Риччи
Е Основные открытые проблемы
Глава 1. Основные сведения
A. Введение
B. Линейные связности
C. Римановы и псевдоримановы многообразия
D. Римановы многообразия как метрические пространства
E. Римановы погружения, изометрии и киллинговы векторные поля Е. Многообразия Эйнштейна
G. Разложение алгебраических тензоров кривизны на неприводимые компоненты
H. Применение к римановой геометрии
Е Лапласианы и формулы Вейценбёка J. Конформная деформация римановых метрик К. Первая вариация поля тензоров кривизны
Глава 2. Основные сведения (продолжение): кэлеровы многообразия
A. Почти комплексные и комплексные многообразия
B. Эрмитовы и кэлеровы метрики
C. Тензор Риччи и форма Риччи
D. Голоморфная секционная кривизна
E. Классы Чженя
F. Форма Риччи как форма кривизны линейного расслоения
G. Теория Ходжа
H. Голоморфные векторные поля и инфинитезимальные изометрии
Е. Теорема Калаби — Футаки
Глава 3. Теория относительности
A. Введение
B. Физическая интерпретации
C. Полевое уравнение Эйнштейна
D. Приливные напряжении
E. Нормальные формы кривизны
F. Метрика Шварцшильда
G. Планетные орбиты
H. Прецессии перигелии
I. Геодезические вселенной Шварцшильда
J. Отклонение луча света
К. Расширение Крускала
L. Как может нарушаться полнота
М. Теоремы сингулярности
Глава 4. Римановы функционалы
A. Введение
B. Основные свойства римановых функционалов
C. Полная скалярная кривизна: свойства первого порядка
D. Существование метрик постоянной скалярной кривизны
E. Образ отображении скалярной кривизны
Г. /Многообразие метрик постоянной скалярной кривизны
G. Снова о полной скалярной кривизне: свойства второго порядка
H. Квадратичные функционалы
Глава 5. Кривизна Риччи как уравнение в частных производных
A. Точечная (инфинитезимальная) разрешимость
B. От точечной разрешимости к локальной: препятствия
C. Локальная разрешимость уравнении Ric(g) = r для невырожденного тензора r
D. Локальное построение метрик Эйнштейна
E. Регулярность метрик с гладким тензором Риччи
F. Аналитичность метрик Эйнштейна и ее применение
G. Метрики Эйнштейна на трехмерных многообразиях
H. Теорема единственности для кривизны Риччи
I. Несуществование глобальных решений
Глава 6. Многообразия Эйнштейна и топология
A. Введение
B. Существование метрик Эйнштейна в двумерном случае
C. Трехмерный случай
D. Четырехмерный случай
E. Кривизна Риччи и фундаментальная группа
F. Скалярная кривизна и спинорное препятствие
G. Доказательство теоремы Чигера — Громола о полных многообразиях неотрицательной кривизны Риччи
Глава 7. Однородные римановы многообразия
A. Введение
B. Однородные римановы многообразия
C. Кривизна
D. Примеры однородных многообразий Эйнштейна
E. Общие результаты для однородных многообразий Эйнштейна
F. Симметрические пространства
G. Стандартные однородные многообразия
H. Таблицы
I. Немного об однородных лоренцевых многообразиях
Глава 8. Компактные однородные кэлеровы многообразия
0. Введение
A. Орбиты присоединенного представления компактной группы Ли
B. Каноническая комплексная структура
C. G-инвариантная форма Риччи
D. Симплектическая структура Кириллова — Костана — Сурьо
E. Инвариантные кэлеровы метрики на орбитах
F. Компактные однородные кэлеровы многообразия
G. Пространство орбит
H. Примеры
Содержание т. II.