Многочлены, Прасолов В.В., 2003

Многочлены, Прасолов В.В., 2003.
В книге изложены основные результаты исследований по теории многочленов, как классические, так и современные. Большое внимание уделено 17-й проблеме Гильберта о представлении неотрицательных многочленов суммами квадратов рациональных функций и ее обобщениям. Теория Галуа обсуждается прежде всего с точки зрения теории многочленов, а не с точки зрения общей теории расширения полей.
Для студентов, аспирантов, научных работников - математиков и физиков.

Основная теорема алгебры.
В те давние времена, когда алгебра была скудна теоремами, следующее утверждение получило название основной теоремы алгебры: "Многочлен степени п с комплексными коэффициентами имеет ровно п корней (с учетом их кратностей)". Впервые это утверждение сформулировал Альбер де Жирар в 1629 г.. но он даже не пытался его доказывать. Первым осознал необходимость доказательства основной теоремы алгебры Даламбер, но его доказательство (1746) не было признано убедительным. Свои доказательства предложили Эйлер (1749), Фонсене (1759) и Лагранж (1771), но и эти доказательства были небезупречны.
Первым удовлетворительное доказательство основной теоремы алгебры получил Гаусс, который привел три разных доказательства (1799, 1815 и 1816), а в 1845 г. опубликовал еще и уточненную версию своего первого доказательства.
Обзор различных доказательств основной теоремы алгебры можно найти в [ТУ]. Мы ограничимся одним доказательством. Оно использует следующую теорему Руше, которая имеет и самостоятельный интерес.
Оглавление
Предисловие к первому изданию
Глава 1. Корни многочленов
1. Неравенства дня корней
1.1. Основная теорема алгебры
1.2. Теорема Коши
1.3. Теорема Лагерра
1.4. Аполярные многочлены
1.5. Проблема Рауса Гурвица
2. Корни многочлена и его производной
2.1. Теорема Гаусса Люка
2.2. Корни производной и фокусы эллипса
2.3. Локализация корней производной
2.4. Гипотеза Сендова Илиева
2.5. Многочлены, у которых совпадают корни их самих и их производных
3. Результант и дискриминант
3.1. Результант
3.2. Дискриминант
3.3. Вычисление некоторых результантов и дискриминантов
4. Разделение корней
4.1. Теорема Фурье Бюдана
4.2. Теорема Штурма
4.3. Теорема Сильвестра
4.4. Разделение комплексных корней
5. Ряд Лагранжа и оценки корней многочлена
5.1. Ряд Лагранжа Бюрмана
5.2. Ряд Лагранжа и оценки корней
Глава 2. Неприводимые многочлены
6. Основные свойства неприводимых многочленов
6.1. Разложение многочленов на неприводимые множители
6.2. Признак Эйзенштейна
6.3. Неприводимость по модулю p
7. Признаки неприводимости
7.1. Признак Дюма
7.2. Многочлены с доминирующим коэффициентом
7.3. Неприводимость многочленов, принимающих малые значения
8. Неприводимость трехчленов и четырехчленов
8.1. Неприводимость многочленов хn ± хm ± хp ± 1
8.2. Неприводимость некоторых триномов
9. Теорема неприводимости Гильберта
10. Алгоритмы разложения на неприводимые множители
10.1. Алгоритм Берлекэмпа
10.2. Факторизация с помощью леммы Гензеля
Глава 3. Многочлены специального вида
11. Симметрические многочлены
11.1. Примеры симметрических многочленов
11.2. Основная теорема о симметрических многочленах
11.3. Неравенства Мюрхеда
11.4. Функции Шура
12. Целозначные многочлены
12.1. Базис целозначных многочленов
12.2. Целозначные многочлены oт многих переменных
12.3. q-аналог целозначных полиномов
13. Круговые многочлены
13.1. Основные свойства круговых многочленов
13.2. Формула обращения Мёбиуса
13.3. Неприводимость круговых многочленов
13.4. Выражение Фmn через Фn
13.5. Дискриминант кругового многочлена
13.6. Результант пары круговых многочленов
13.7. Коэффициенты круговых многочленов
13.8. Теорема Веддерберна
13.9. Многочлены, неприводимые по модулю р
14. Многочлены Чебышева
14.1. Определение и основные свойства
14.2. Ортогональные многочлены
14.3. Неравенства для многочленов Чебышева
14.4. Производящая функция
15. Многочлены Бернулли
15.1. Определения многочленов Бернулли
15.2. Теоремы дополнения, сложения аргументов и умножения
15.3. Формула Эйлера
15.4. Теорема Фаульгабера-Якоби
15.5. Арифметические свойства чисел и многочленов Бернулли
Глава 4. Некоторые свойства многочленов
16. Многочлены с пред писанными знамениями
16.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
16.2. Интерполяционный многочлен Эрмита
16.3. Многочлен с предписанными значениями в нулях производной
17. Высота многочлена и другие нормы
17.1. Лемма Гаусса
17.2. Многочлены от одной переменной
17.3. Максимум модуля и неравенство Бернштейна
17.4. Многочлены от многих переменных
17.5. Неравенство для пары взаимно простых многочленов
17.6. Неравенство Миньотта
18. Уравнения для многочленов
18.1. Диофантовы уравнения для многочленов
18.2. Функциональные уравнения для многочленов
19. Преобразования многочленов
19.1. Преобразование Чирнгауза
19.2. Уравнение пятой степени в форме Бринга
19.3. Представление многочленов в виде сумм степеней линейных функций
20. Алгебраические числа
20.1. Определение и основные свойства
20.2. Теорема Кронекера
20.3. Теорема Лиувилля
Глава 5. Теория Галуа
21. Теорема Лагранжа и резольвента Галуа
21.1. Теорема Лагранжа
21.2. Резольвента Галуа
21.3. Теорема о примитивном элементе
22. Основы теории Галуа
22.1. Соответствие Галуа
22.2. Многочлен с группой Галуа S5
22.3. Простые радикальные расширения
22.4. Циклические расширения
23. Решение уравнений в радикалах
23.1. Разрешимые группы
23.2. Уравнения с разрешимой группой Галуа
23.3. Уравнения, разрешимые в радикалах
23.4. Абелевы уравнения
23.5. Критерий Абеля-Галуа разрешимости уравнения простой степени
24. Вычисление групп Галуа
24.1. Дискриминант и группа Галуа
24.2. Резольвентные многочлены
24.3. Группа Галуа по модулю р
Глава 6. Идеалы в кольцах многочленов
25. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях
25.1. Теорема Гильберта о базисе
25.2. Теорема Гильберта о нулях
25.3. Многочлен Гильберта
25.4. Однородная теорема Гильберта о нулях для р-полей
26. Базисы Грёбнера
26.1. Многочлены от одной переменной
26.2. Деление многочленов от многих переменных
26.3. Определения базисов Грёбнера
26.4. Алгоритм Бухбергера
26.5. Приведенный базис Грёбнера
Глава 7. Семнадцатая проблема Гильберта
27. Суммы квадратов: введение
27.1. Некоторые примеры
27.2. Теорема Артина-Касселса-Пфистера
27.3. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
27.4. Теорема Гильберта о неотрицательных многочленах р4(х, у)
28. Теория Артина
28.1. Вещественные поля
28.2. Теорема Сильвестра для вещественно замкнутых полей
28.3. Семнадцатая проблема Гильберта
29. Теория Пфистера
29.1. Мультипликативные квадратичные формы
29.2. Ci-поля
29.3. Теорема Пфистера о суммах квадратов рациональных функций
Дополнение
30. Алгоритм Ленстры-Ленстры-Ловаса
30.1. Общее описание алгоритма
30.2. Приведенный базис решетки
30.3. Решетки и факторизация многочленов
Литература
Предметный указатель.