Методы решения интегральных уравнений: Справочник - Манжиров А.В., Полянин А.Д.

Название: Методы решения интегральных уравнений: Справочник
Автор: Манжиров А.В., Полянин А.Д.
В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены некоторые точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в приложениях (в механике и физике).
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.

Оглавление
Предисловие 9
1. Основные определения и формулы. Интегральные преобразования 10
1.1. Предварительные замечания 10
1.1-1. Некоторые определения 10
1.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений 11
1.1-3. Интегральные преобразования 12
1.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений 12
1.1-5. Лемма Жордана 13
1.2. Преобразование Лапласа 14
1.2-1. Определение. Формула обращения 14
1.2-2. Обращение рациональных функций 15
1.2-3. Теорема о свертке для преобразования Лапласа 15
1.2-4. Предельные теоремы 15
1.2-5. Основные свойства преобразования Лапласа 16
1.2-6. Формула Поста-Уиддера 16
1.3. Преобразование Меллина 17
1.3-1. Определение. Формула обращения 17
1.3-2. Основные свойства преобразования Меллина 17
1.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье 18
1.4. Преобразование Фурье 18
1.4-1. Определение. Формула обращения 18
1.4-2. Несимметричная форма преобразования 19
1.4-3. Альтернативное преобразование Фурье 19
1.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье 20
1.5. Синус- и косинус-преобразования Фурье 20
1.5-1. Косинус-преобразование Фурье 20
1.5-2. Синус-преобразование Фурье 21
1.6. Другие интегральные преобразования 21
1.6-1. Преобразование Ханкеля 21
1.6-2. Преобразование Мейера 22
1.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева 22
1.6-4. У-преобразование и другие преобразования 22
2. Методы решения линейных уравнений вида ?f? K(x,t)y(t)dt = f(x) ... 25
2.1. Уравнения Вольтерра первого рода 25
2.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер 25
2.1-2. Существование и единственность решения 26
2.2. Уравнения с вырожденным ядром: K(x,t) = g1(x)h1(t) + • • • 4- 9n(x)^n(^)  26
2.2-1. Уравнения с ядром K(x,t) = g1(x)h1(t) 4- #2(Ж)^2М 26
2.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 27
2.3. Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода 28
2.3-1. Первый способ 28
2.3-2. Второй способ 28
2.4. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 29
2.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 29
2.4-2. Случай рационального образа решения 30
2.4-3. Представление решения в виде композиции 30
2.4-4. Использование вспомогательного уравнения 31
2.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 32
2.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа 33
2.5. Метод дробного дифференцирования 33
2.5-1. Определение дробных интегралов 33
2.5-2. Определение дробных производных 34
2.5-3. Основные свойства 35
2.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля 35
2.6. Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность 36
2.6-1. Метод преобразования ядра 36
2.6-2. Ядро с логарифмической особенностью 37
2.7. Метод квадратур 38
2.7-1. Квадратурные формулы 38
2.7-2. Общая схема метода 39
2.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций 40
2.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром 40
2.8. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 41
2.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования 41
2.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода 42
3. Методы решения линейных уравнений вида у(х) — J^ K(x, t)y(t) dt= f (х) 43
3.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода 43
3.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты 43
3.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений 44
3.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) +  4- 9n(x)^n(^)  44
3.2-1. Уравнения с ядром К(х, t) = ip(x) 4- ip(x)(x — t) 44
3.2-2. Уравнения с ядром К(х, t) = (p(t) 4- ip(t)(t — х) 45
3.2-3. Уравнения с ядром K(x,t) = J2m=i ^Рт(х)(х ~ ?)m_1 46
3.2-4. Уравнения с ядром К(х, t) = E™=i <Pm(*)(* ~ х)т~1 46
3.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 47
3.3. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 48
3.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 48
3.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения 50
3.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 50
3.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 51
3.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля 51
3.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра 53
3.4. Операторные методы решения линейных интегральных уравнений 53
3.4-1. Использование решения «укороченного» уравнения 53
3.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода 54
3.4-3. Метод решения «квадратных» операторных уравнений 56
3.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида 57
3.4-5. Некоторые обобщения 58
3.5. Построение решений уравнений со специальной правой частью 58
3.5-1. Общая схема 58
3.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида 59
3.5-3. Порождающая функция степенного вида 61
3.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы 62
3.6. Метод модельных решений 63
3.6-1. Предварительные замечания 63
3.6-2. Описание метода 64
3.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части 64
3.6-4. Модельное решение для степенной правой части 66
3.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части 67
3.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части 67
3.6-7. Некоторые обобщения 67
3.7. Метод дифференцирования интегральных уравнений 68
3.7-1. Ядро содержит сумму экспонент 68
3.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций 69
3.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций 70
3.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций 71
3.8. Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра первого рода 71
3.8-1. Первый способ 72
3.8-2. Второй способ 72
3.9. Метод последовательных приближений 72
3.9-1. Общая схема 72
3.9-2. Формула для резольвенты 73
3.10. Метод квадратур 74
3.10-1. Общая схема метода 74
3.10-2. Применение формулы трапеций 75
3.10-3. Случай вырожденного ядра 75
3.11. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 75
3.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования 76
3.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 77
4. Методы решения линейных уравнений вида Ja К(ж, t)y(t) dt = f (ж) ... 78
4.1. Предварительные замечания 78
4.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода 78
4.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью 78
4.1-3. Интегральные уравнения типа свертки 79
4.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода 80
4.2. Метод Крейна 80
4.2-1. Основное и вспомогательное уравнения 80
4.2-2. Решение основного уравнения 81
4.3. Метод интегральных преобразований 82
4.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 82
4.3-2. Уравнения с ядром K(x,t) = K(x/t) на полуоси 82
4.3-3. Уравнение с ядром K(x,t) = K(xt) и его обобщения 82
4.4. Задача Римана для действительной оси 83
4.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши 84
4.4-2. Односторонние интегралы Фурье 85
4.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 86
4.4-4. Краевая задача Римана 87
4.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами 93
4.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача 94
4.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача 96
4.5. Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода 99
4.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода 99
4.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода 99
4.6. Парные интегральные уравнения первого рода 102
4.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами 102
4.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода 104
4.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма 105
4.7. Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической особенностью 109
4.7-1. Предварительные замечания 109
4.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра 109
4.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра ПО
4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости 112
4.8. Методы регуляризации 112
4.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева 112
4.8-2. Метод регуляризации Тихонова 113
5. Методы решения линейных уравнений вида у(х) —Ja K(x, t)y(t) dt= f(x) 114
5.1. Предварительные замечания 114
5.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью 114
5.1-2. Структура решений 115
5.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода 115
5.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода 115
5.2. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром 116
5.2-1. Простейшее вырожденное ядро 116
5.2-2. Вырожденное ядро в общем случае 117
5.3. Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных приближений 120
5.3-1. Итерированные ядра 120
5.3-2. Метод последовательных приближений 120
5.3-3. Построение резольвенты 121
5.3-4. Ортогональные ядра 122
5.4. Метод определителей Фредгольма 123
5.4-1. Формула для резольвенты 123
5.4-2. Рекуррентные соотношения 124
5.5. Теоремы и альтернатива Фредгольма 125
5.5-1. Теоремы Фредгольма 125
5.5-2. Альтернатива Фредгольма 125
5.6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными ядрами . 125
5.6-1. Характеристические числа и собственные функции 125
5.6-2. Билинейный ряд 127
5.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта 128
5.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер 128
5.6-5. Решение неоднородного уравнения 129
5.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений 130
5.6-7. Резольвента симметричного ядра 130
5.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел 131
5.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным 131
5.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение 132
5.7. Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода 132
5.7-1. Простейшая схема 132
5.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси 132
5.8. Метод интегральных преобразований и метод модельных решений 133
5.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 133
5.8-2. Уравнение с ядром K(x,t) = t~1Q(x/t) на полуоси 135
5.8-3. Уравнение с ядром K(x,t) = tf3Q(xt) на полуоси 136
5.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси 137
5.9. Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода ... 137
5.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода 137
5.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами 141
5.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования 146
5.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода 148
5.10. Метод Винера-Хопфа 149
5.10-1. Некоторые замечания 149
5.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 151
5.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации 154
5.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 156
5.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода 157
5.11. Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа 158
5.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации 158
5.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода 159
5.11-3. Формула Хопфа-Фока 161
5.12. Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке 162
5.12-1. Метод Крейна 162
5.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье 163
5.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 164
5.13. Метод замены ядра вырожденным 166
5.13-1. Аппроксимация ядра 166
5.13-2. Приближенное решение 167
5.14. Метод Бейтмена 168
5.14-1. Общая схема метода 168
5.14-2. Некоторые частные случаи 169
5.15. Метод коллокации 171
5.15-1. Общие замечания 171
5.15-2. Приближенное решение 172
5.15-3. Собственные функции уравнения 173
5.16. Метод наименьших квадратов 174
5.16-1. Описание метода 174
5.16-2. Построение собственных функций 175
5.17. Метод Бубнова-Галеркина 176
5.17-1. Описание метода 176
5.17-2. Характеристические числа уравнения 176
5.18. Метод квадратур 178
5.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода 178
5.18-2. Построение собственных функций 179
5.18-3. Особенности применения квадратурных формул 179
5.19. Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода 180
5.19-1. Некоторые замечания 180
5.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение 181
5.20. Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода 181
5.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера 181
5.20-2. Регуляризующие операторы 182
5.20-3. Метод регуляризации 183
6. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода .... 185
6.1. Предварительные замечания 185
6.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши 185
6.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта 185
6.2. Интеграл типа Коши 186
6.2-1. Определение интеграла типа Коши 186
6.2-2. Условие Гёльдера 187
6.2-3. Главное значение сингулярного интеграла 187
6.2-4. Многозначные функции 189
6.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла 190
6.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана 192
6.3. Краевая задача Римана 192
6.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 192
6.3-2. Интерполяционный полином Эрмита 194
6.3-3. Понятие индекса 194
6.3-4. Постановка задачи Римана 196
6.3-5. Решение однородной задачи 198
6.3-6. Решение неоднородной задачи 199
6.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами 201
6.3-8. Задача Римана для действительной оси 204
6.3-9. Исключительные случаи задачи Римана 206
6.3-10. Задача Римана для многосвязной области 210
6.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров 213
6.3-12. Краевая задача Гильберта 213
6.4. Сингулярные интегральные уравнения первого рода 214
6.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши 214
6.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси 214
6.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке 215
6.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши 216
6.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта 217
6.5. Метод Мультоппа-Каландия 218
6.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка 218
6.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка 220
6.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка 221
7. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений 222
7.1. Некоторые замечания 222
7.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши 222
7.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта 223
7.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре 224
7.2. Метод Карлемана для характеристических уравнений 226
7.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши 226
7.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим 229
7.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси 230
7.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения 232
7.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта 234
7.2-6. Уравнение Трикоми 234
7.3. Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой форме 235
7.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах 235
7.3-2. Замкнутое решение в общем случае 236
7.4. Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений .... 238
7.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов 238
7.4-2. Регуляризующий оператор 240
7.4-3. Способы регуляризации слева и справа 241
7.4-4. Проблема равносильной регуляризации 242
7.4-5. Теоремы Нётера 243
7.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа 244
7.4-7. Регуляризация в исключительных случаях 246
7.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта 246
8. Методы решения нелинейных интегральных уравнений 250
8.1. Некоторые определения и замечания 250
8.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 250
8.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования .... 251
8.2. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 252
8.2-1. Метод интегральных преобразований 252
8.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений 253
8.2-3. Метод последовательных приближений 254
8.2-4. Метод Ньютона-Канторовича 256
8.2-5. Метод коллокации 258
8.2-6. Метод квадратур 258
8.3. Уравнения с постоянными пределами интегрирования 260
8.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами 260
8.3-2. Метод интегральных преобразований 262
8.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений 263
8.3-4. Метод последовательных приближений 264
8.3-5. Метод Ньютона-Канторовича 264
8.3-6. Метод квадратур 267
8.3-7. Метод регуляризации Тихонова 267
Список литературы 269