Математика, Задачи с ответами и решениями, Сергеев И.Н., 2004

Математика, Задачи с ответами и решениями, Сергеев И.Н., 2004.
Пособие представляет собой сборник задач по школьному курсу математики (включая алгебру, геометрию и начала анализа) и предназначено для подготовки к вступительному экзамену по математике в любой ВУЗ. Специальный порядок задач, разработанный опытным преподавателем, обеспечивает максимальный обучающий эффект. При последовательном изучении материала знания абитуриента развиваются по спирали: пройдя очередной ее виток, он оказывается подготовленным по всем разделам математики на существенно более высоком уровне, чем раньше.
Содержатся варианты письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова, проводившихся в 2002-2003 гг., а также программа по математике для поступающих в МГУ.

Оглавление
Введение
1. Уникальность настоящего сборника
2. Структура книги
3. Несколько слов о фундаментальных задачах
4. Краткое описание генеральных методов
5. Условные обозначения
6. Как пользоваться задачником
Часть I. Фундаментальные задачи
Глава 1. Первичные понятия, факты и приемы
1. Элементарные сведения
1.1. Задачи на вычисление значений
1.2. Модуль и знак числа, допустимые значения
1.3. Отбрасывание оснований степени
1.4. Понятие логарифма
2. Тригонометрия
2.1. Вычисление тригонометрических выражений
2.2. Простейшие уравнения
2.3. Формулы двойного и половинного угла
2.4. Формулы тригонометрии
2.5. Отбрасывание тригонометрических функций
2.6. Введение вспомогательного угла
3. Логарифмы
3.1. Вычисление логарифмов
3.2. Отбрасывание логарифмов
3.3. Особенности применения формул
3.4. Случаи переменного основания
4. Системы и текстовые задачи
4.1. Системы
4.2. Прогрессии
4.3. Пропорции, доли, проценты и концентрации..
4.4. Движение и работа
5. Геометрия
5.1. Простейшие задачи
5.2. Применение тригонометрии
5.3. Касательные, секущие и хорды
5.4. Дуги окружности и углы
5.5. Медианы, высоты и биссектрисы
5.6. Стереометрия
5.7. Координаты и векторы
Глава 2. Квадратные уравнения и неравенства
6. Квадратный трехчлен
6.1. Дискриминант и формула корней
6.2. Разложение на линейные множители
6.3. Теорема Виета и обратная к ней
7. Уравнения и неравенства, квадратные относительно различных выражений
7.1. Биквадратные уравнения и неравенства
7.2. Уравнения и неравенства, квадратные относительно ах
7.3. Уравнения и неравенства, квадратные относительно loga x
7.4. Уравнения, квадратные относительно sin x или cos х
8. Дополнительные соображения
8.1. Учет области допустимых значений
8.2. Комбинации различных функций
8.3. Оптимальный выбор новой переменной
8.4. Роль грубых оценок
8.5. Учет области значений выражения
9. Простейшие приложения
9.1. Системы, сводящиеся к квадратным уравнениям
9.2. Квадратные уравнения и неравенства в текстовых задачах
9.3. Использование квадратных уравнений в геометрии
Часть II. Генеральные методы решения задач
Глава 3. Метод перебора
10. Расщепление уравнений и неравенств
10.1. Расщепление уравнений
10.2. Метод интервалов
10.3. Расщепление неравенств
10.4. Разные задачи, связанные с расщеплением
11. Перебор случаев
11.1. Раскрытие модулей и метод интервалов
11.2. Исследование основания логарифма или степени
11.3. Зависимость от параметра
11.4. Перебор вариантов в текстовых задачах
11.5. Целочисленный перебор
12. Развитие метода интервалов
12.1. Обобщенный метод интервалов
12.2. Метод областей
13. Разложение на множители
13.1. Разложение с помощью формул тригонометрии
13.2. Дублирование корней в ответе ПО
13.3. Использование однородности
13.4. Разные методы разложения на множители
13.5. Уравнения третьей и четвертой степени
14. Возведение уравнений и неравенств в квадрат
14.1. Иррациональные уравнения
14.2. Иррациональные неравенства
14.3. Разные задачи на возведение в степень
15. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы
15.1. Выбор корней из данного промежутка
15.2. Учет тригонометрических неравенств
15.3. Трудности при отборе корней
16. Перебор случаев в геометрии
16.1. Обоснование геометрической конфигурации
16.2. Перебор вариантов расположения
16.3. Неоднозначность в ответе
Глава 4. Метод равносильных преобразований
17. Сравнение чисел и выражений
17.1. Задачи на сравнение
17.2. Сравнение чисел в процессе решения
17.3. Оценки в геометрии
17.4. Цепочки неравенств
18. Некоторые особенности преобразований
18.1. Изменение области допустимых значений
18.2. Случаи неодинаковых оснований
18.3. Специальные действия с радикалами
19. Различные системы и совокупности
19.1. Метод подстановки
19.2. Метод сложения
19.3. Системы в текстовых задачах
19.4. Необычные равносильные преобразования
19.5. Разные способы избавления от модулей
20. Область значений и экстремумы функций
20.1. Исследование функций без производной
20.2. Условные экстремумы
20.3. Исследование области значений в процессе решения
20.4. Экстремальные ситуации в уравнениях и неравенствах
20.5. Исследование величин в текстовых задачах
21. Геометрические вопросы
21.1. Сравнение площадей и объемов
21.2. Исследование геометрических величин и параметров :
21.3. Геометрические преобразования
Глава 5. Метод обозначений
22. Замена переменных
22.1. Избавление от радикалов с помощью обозначений
22.2. Выявление устойчивых выражений
22.3. Тригонометрические замены и подстановки.
22.4. Учет делимости посредством подстановки
22.5. Обозначения и переобозначения в текстовых задачах
23. Переменные, параметры, функции
23.1. Привлечение функций
23.2. Изменение роли букв, входящих в условие
23.3. Введение дополнительных переменных
24. Переменные в геометрии
24.1. Обозначения для длин и углов
24.2. Метод координат
24.3. Задачи с возможным участием векторов
25. Графические иллюстрации
25.1. Числовая прямая
25.2. Исследование графиков
25.3. Упрощение выкладок с помощью свойств параболы
25.4. Числовая окружность
26. Зависимость графиков от параметра
26.1. Сечения графиков
26.2. Взаимное расположение графиков
26.3. Использование параметра в качестве одной из координат
26.4. Задачи на расположение парабол
27. Привлечение геометрии
27.1. Геометрический смысл модуля
27.2. Эффект от геометрической интерпретации
27.3. Применение геометрии в текстовых задачах
28. Дополнительные построения в геометрии
28.1. Стандартные построения
28.2. Сравнение площадей и объемов частей фигуры
28.3. Разные задачи, использующие дополнительные построения
Глава 6. Метод следствий
29. Основные типы следствий
29.1. Следствие, заложенное в постановке задачи
29.2. Метод проверки
29.3. Метод подбора
30. Получение и применение оценок
30.1. Выводы на области допустимых значений
30.2. Разные задачи, использующие оценки
30.3. Оценки в текстовых задачах
31. Специфика геометрии
31.1. Получение различных следствий
31.2. Угадывание особенностей конфигурации
31.3. Метод подбора в геометрии
32. Элементы логики
32.1. Приведение к противоречию
32.2. Переход от общего к частному
32.3. Следствия, связанные с количеством решений .
32.4. Различные логические связи между утверждениями
33. Задачи с целыми числами
33.1. Оценки целочисленных переменных
33.2. Использование делимости
33.3. Экстремальные-целочисленные задачи
34. Проекции и сечения
34.1. Проектирование на прямую
34.2. Проектирование на плоскость
34.3. Сечение фигур плоскостями
Приложение А. Программа по математике
I. Основные понятия
II. Содержание теоретической части устного экзамена
III. Требования к поступающему
Приложение Б. Дополнительные разделы
Б.1. Элементы комбинаторики
Б.2. Задачи, использующие предел
Б.3. Производная
Б.4. Исследование функций с помощью производной
Б.5. Касательная
Б.б. Интеграл
Б.7. Нахождение площадей с помощью интеграла.
Б.8. Разные задачи на применение производной и интеграла
Приложение В. Варианты заданий 2002 г.
Приложение Г. Варианты заданий 2003 г.
Ответы
Тригонометрия.
Тригонометрические функции числа
1)определяются с помощью тригонометрического круга: данное число изображается точкой, но не на прямой, а на единичной окружности
2). Абсцисса и ордината этой точки - это косинус и синус данного числа соответственно. Геометрически можно определить также и тангенс (котангенс).