Математика, все темы для подготовки к ЕГЭ, Роганин А.Н., 2011

Математика, все темы для подготовки к ЕГЭ, Роганин А.Н., 2011.
    Издание окажет помощь старшеклассникам при подготовке к ЕГЭ по математике. Книга поможет быстро и эффективно повторить и обобщить учебный материал. В пособие включен теоретический материал по всем темам ЕГЭ. Вопросы, задания и упражнения помогут закрепить знания. К наиболее сложным заданиям в конце книги приведены ответы.

СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ 1. ВЫРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.1. Корень степени п 10
1.1.1. Понятие корня степени п 10
1.1.2. Свойства корня степени п 12
1.1.3. Тождественные преобразования иррациональных выражений 16
1.2. Степень с рациональным показателем 18
1.2.1. Понятие степени с рациональным показателем. 18
1.2.2. Свойства степени с рациональным показателем 19
1.3. Логарифм 24
1.3.1. Понятие логарифма 25
1.3.2. Свойства логарифмов 25
1.3.3. Десятичные и натуральные логарифмы 31
1.4. Синус, косинус, тангенс, котангенс 32
1.4.1. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента 32
1.4.2. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента 34
1.4.3. Формулы сложения 38
1.4.4. Следствия из формул сложения 41
1.4.5. Формулы приведения 43
1.4.6. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 45
Примеры заданий ЕГЭ по теме 1.1. «Корень степени п» 46
Примеры заданий ЕГЭ по теме 1.2. «Степень с рациональным показателем» 47
Примеры заданий ЕГЭ по теме 1.3. «Логарифмы» 48
Примеры заданий ЕГЭ по теме 1.4. «Синус, косинус, тангенс, котангенс» 49
Тренировочные тестовые задания к разделу 1 «Выражения и преобразования» 51
РАЗДЕЛ 2. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
2.1. Уравнения с одной переменной 53
2.2. Равносильность уравнений 55
2.3. Общие приемы решения уравнений 61
2.3.1. Разложение на множители 61
2.3.2. Замена переменной 63
2.3.3. Использование свойств функций 68
2.3.4. Использование графиков 72
2.4. Решение простейших уравнений 74
2.4.1. Решение иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. 74
2.4.3. Решение комбинированных уравнений (например, показательно-логарифмических, показательно-тригонометрических, логарифмически степенных, дробно-рациональных относительно степенной функции) 87
2.4.4. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 90
2.4.5. Уравнения с параметрами 93
2.5. Системы уравнений с двумя переменными 94
2.5.1. Системы, содержащие одно или два иррациональных уравнения 97
2.5.2. Системы, содержащие одно или два тригонометрических уравнения 98
2.5.3. Системы, содержащие одно или два показательных уравнения 100
2.5.4. Системы, содержащие одно или два логарифмических уравнения 102
2.5.5. Использование графиков при решении систем 103
2.5.6. Системы, содержащие уравнения разного вида (иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические) 104
2.5.7. Системы уравнений с параметром 105
2.5.8. Системы, содержащие одно или два рациональных уравнения 107
2.6. Неравенства с одной переменной 109
2.6.1. Рациональные неравенства 112
2.6.2. Показательные неравенства 117
2.6.3. Логарифмические неравенства 120
2.6.4. Использование графиков при решении неравенства 124
2.6.5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 128
2.6.7. Решение комбинированных неравенств 130
2.7. Системы неравенств 132
2.8. Совокупность неравенств 133
Примеры заданий ЕГЭ по теме 2.1. «Уравнение с одной переменной» 135
Примеры заданий ЕГЭ по теме 2.3. «Общие приемы решения уравнений» 137
Примеры заданий ЕГЭ по теме 2.4. «Решение простейших уравнений» 138
Примеры заданий ЕГЭ по теме 2.5. «Системы уравнений с двумя переменными» 139
Примеры заданий ЕГЭ по теме 2.6. «Неравенства с одной переменной» 141
Примеры заданий ЕГЭ по теме 2.7. «Системы неравенств» 143
Тренировочные тестовые задания к разделу 2 «Уравнения и неравенства» 145
РАЗДЕЛ 3. ФУНКЦИИ
3.1. Числовые функции и их свойства 147
3.1.1. Область определения функции 150
3.1.2. Множество значений функции 153
3.1.3. Непрерывность функции 157
3.1.4. Периодичность функции 159
3.1.5. Четность (нечетность) функции 163
3.1.6. Возрастание (убывание) функции 164
3.1.7. Экстремумы функции 167
3.1.8. Наибольшее (наименьшее) значение функции 169
3.1.9. Ограниченность функции 172
3.1.10. Сохранение знака функции 175
3.1.11. Связь между свойствами функции и ее графиком 177
3.1.12. Значения функции 208
3.1.13. Свойства сложных функций 211
3.2. Производная функции 220
3.2.1. Геометрический смысл производной 222
3.2.2. Геометрический смысл производной и график функции 224
3.2.3. Геометрический смысл производной и график производной 225
3.2.4. Физический смысл производной 225
3.2.5. Таблица производных 226
3.2.6. Производная суммы двух функций 228
3.2.7. Производная произведения двух функций 228
3.2.8. Производная частного двух функций 229
3.2.9. Производная функции вида у = f(ax + Ь) 229
3.2.10. Производная сложных функций 230
3.3. Исследование функций с помощью производной. 230
3.3.1. Промежутки монотонности 230
3.3.2. Промежутки монотонности и график производной 232
3.3.3. Экстремумы функции 233
3.3.4. Точки экстремумов функции 236
3.3.5. Наибольшее и наименьшее значения функции 236
3.3.6. Точки, в которых функция достигает наибольшего или наименьшего значения и график производной 238
3.3.7. Построение графиков функций 238
3.4. Первообразная 240
3.4.1. Первообразная суммы функций 242
3.4.2. Первообразная произведения функции на число 243
3.4.3. Задача о площади криволинейной трапеции 244
Примеры заданий ЕГЭ по теме 3.1. «Функции» 247
Примеры заданий ЕГЭ по теме 3.2. «Производная функции» 248
Примеры заданий ЕГЭ по теме 3.3. «Исследование
функции с помощью производной» ? 250
Примеры заданий ЕГЭ по теме 3.4. «Первообразная». 251
Тренировочные тестовые задания к разделу 3 «Функции» 253
РАЗДЕЛ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА
4.1. Признаки равенства и подобия треугольников. Решение треугольников. Сумма углов треугольника. Неравенство треугольников. Теорема Пифагора. Теорема синусов и теорема косинусов. Площадь треугольника 256
4.1.1. Равенство треугольников 256
4.1.2. Подобие треугольников 258
4.1.3. Неравенство треугольника 262
4.1.4. Решение треугольников 264
4.1.5. Площадь треугольника 266
4.2. Многоугольники 268
4.2.1. Параллелограмм, его виды. Площадь параллелограмма 271
4.2.2. Прямоугольник. Площадь прямоугольника. 273
4.2.3. Ромб. Площадь ромба 274
4.2.4. Квадрат. Площадь квадрата 275
4.2.5. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции 276
4.2.6. Правильные многоугольники 279
4.3. Окружность 282
4.3.1. Касательная к окружности и ее свойства. Центральный и вписанный углы. Длина окружности. Площадь круга 282
4.3.2. Окружность, описанная около треугольника. 288
4.3.3. Окружность, вписанная в треугольник 289
4.3.4. Комбинация окружностей, описанных и вписанных в треугольник 289
4.4. Равные векторы. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов 290
4.4.1. Скалярные и векторные величины 290
4.4.2. Равенство векторов 292
4.4.3. Координаты вектора 292
4.4.4. Сложение векторов 293
4.4.5. Умножение вектора на число 294
4.4.6. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами 295
4.5. Многогранники 296
4.5.1. Призма 297
4.5.2. Пирамида 307
4.5.3. Правильные многогранники. Сечение плоскостью. Площадь боковой и полной поверхностей. Объем 314
4.6. Тела вращения 316
4.6.1. Прямой круговой цилиндр 317
4.6.2. Прямой круговой конус 320
4.6.3. Шар и сфера. Площадь поверхности. Объем шара 325
4.7. Комбинации тел 329
4.7.1. Комбинации многогранников 329
4.7.2. Комбинации тел вращения 329
4.7.3. Комбинации многогранников и тел вращения 333
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.1. «Треугольник» 338
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.2.
«Многоугольники» 339
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.3. «Окружность» 341
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.4. «Векторы» 343
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.5. «Многогранники». 344
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.6. «Тела вращения». 348
Примеры заданий ЕГЭ по теме 4.7. «Комбинации тел» 353
Тренировочные тестовые задания к разделу 4. «Геометрические фигуры, их свойства. Измерение геометрических величин» 354
РАЗДЕЛ 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
5.1. Простейшие комбинаторные задачи 357
5.1.1. Множества и операции над ними 357
5.1.2. Элементы комбинаторики 363
5.2. Вероятность событий: вычисление вероятности событий на основе подсчета числа исходов 375
5.2.1. Основные понятия теории вероятностей 375
5.2.2. Классическое определение вероятности 377
5.2.3. Использование формул комбинаторики для вычисления вероятности событий 378
5.2.4. Операции над событиями 381
5.2.5. Вероятность сложных событий 383
5.2.6. Независимые события 384
5.2.7. Зависимые события 387
5.2.8. Независимые испытания. Схема Бернулли. 389
5.2.9. Статистическое определение вероятности 391
5.2.10. Закон больших чисел 394
5.3. Решение практических задач: анализ диаграмм и графиков, анализ информации статистического характера 395
5.3.1. Понятие о статистике и ее методах. Статистические таблицы 395
5.3.2. Ряд распределения. Наглядное изображение статистического распределения 399
Примеры заданий ЕГЭ по теме 5.1. «Простейшие комбинаторные задачи» 401
Примеры заданий ЕГЭ по теме 5.2. «Вероятность событий» 402
Тренировочные тестовые задания к разделу 5. «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности» 404
Ответы к примерам заданий ЕГЭ 407
Корень степени п.
    Корнем степени п из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а; а - действительное число.
Например, корень третьей степени из 8 равен 2, поскольку 23 = 8; корень четвертой степени из числа 16 равен 2 или -2, поскольку 24 = 16 и (-2)4 = 16; корень десятой степени из 0 равен 0, поскольку О10 = 0.
    Согласно этому определению, корень степени п - это корень уравнения хп = а. Число корней этого уравнения зависит от п и а.
    Если п - четное, то есть п = 2й, k е N, то уравнение х2к = а имеет два корня, если а > 0; один корень, если а = 0; не имеет корней, если а < 0.