Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ. Часть 2. Хорошилова Е.В., 2008

Название: Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ. Часть 2.
Автор: Хорошилова Е.В.
2008
    Настоящая книга является продолжением Части 1 учебного пособия того же автора. В представленной здесь Части 2 рассмотрены теоретические основы базового курса элементарной математики по разделам «Функции, их свойства и графики», «Тригонометрия», «Планиметрия», «Стереометрия».
    Пособие предназначено для подготовки к вступительным экзаменам по математике как в устной, так и в письменной формах. Книга включает также дополнительный материал по многим разделам, расширяющий математический кругозор учащегося и позволяющий использовать её как справочное пособие. Уделяется внимание в книге и разбору разнообразных приёмов и методов решения задач (особенно в части тригонометрии), их систематизации, в том числе задачам с оригинальными и нестандартными подходами к решению. Изложение теоретического материала для улучшения его понимания и усвоения подкрепляется большим числом иллюстрирующих задач, подобранных по темам.
    В разделе «Функции, их свойства и графики» формулируются все необходимые определения и понятия из курса математического анализа, касающиеся функций одного вещественного переменного, подробно разбираются свойства элементарных функций.
    В разделе «Тригонометрия» выводятся все известные и ряд вспомогательных формул для преобразований тригонометрических выражений, делается обзор существующих типов тригонометрических задач и методов их решения.
    В разделах «Планиметрия» и «Стереометрия» формулируются и доказываются все необходимые теоремы курса элементарной геометрии. Автор также приводит примеры разных подходов к аксиоматике в построении современной геометрии; на основе анализа известных школьных учебников и пособий предлагает читателю возможность сравнить между собой различные способы определения геометрических понятий.
 
   Рекомендовано для подготовительных отделений и курсов, старшеклассников и абитуриентов, проходящих подготовку к поступлению в высшие учебные заведения такие, как МГУ им. М.В. Ломоносова, МФТИ, МГТУ им. Баумана, МИФИ, МТУСИ, ВШЭ, РЭА им. Плеханова, Финансовая академия, МГИМО и др., где требуется углублённое знание математики и умение решать задачи повышенной сложности. Пособие может быть использовано школьниками при подготовке к сдаче ЕГЭ (наиболее сложной его части), а также школьными учителями.


СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. 9
Раздел 1. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
1.1. Основные определения. Способы задания функций. 11
1.2. Общие свойства функций. 27
1.3. Элементарные функции. 80
1.4. Преобразования графиков функций. 138
Задачи к разделу 1. 144
Раздел 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ
2.1. Основные определения. 146
2.2. Основные формулы тригонометрии. 149
2.3. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства (включая неравенства с обратными тригонометрическими функциями). 183
2.4. Различные типы тригонометрических задач и методы их решения. 204
Задачи к разделу 2. 244
Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ - ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Аксиомы евклидовой геометрии. 253
3.2. Основные понятия и определения. 257
3.3. Свойства углов и треугольников. 284
3.4. Свойства и признаки параллелограмма. Теорема Фалеса. Свойства средних линий треугольника и трапеции. 304
3.5. Окружность и некоторые свойства, связанные с окружностью. 315
3.6. Четыре замечательные точки треугольника. Теоремы о пересечении медиан и высот треугольника. 335
3.7. Преобразования фигур. Свойства преобразования подобия. Признаки подобия треугольников. 340
3.8. Теоремы о биссектрисе треугольника. Произведение отрезков пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей. 351
3.9. Основные соотношения в прямоугольных треугольниках. 357
3.10. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Векторы.363
3.11. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов (котангенсов) для треугольника. 390
3.12. Понятие площади плоской фигуры. Площади основных фигур. Длина окружности. 395
Задачи к разделу 3. 409
Раздел 4. СТЕРЕОМЕТРИЯ - ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Основные определения стереометрии. 420
4.2. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. 445
4.3. Признак параллельности прямой и плоскости. 448
4.4. Признак параллельности плоскостей. 449
4.5. Теоремы о скрещивающихся прямых. 452
4.6. Перпендикулярность прямой и плоскости. 453
4.7. Перпендикуляр и наклонные. Теорема о трёх перпендикулярах. 456
4.8. Признак перпендикулярности плоскостей. 457
4.9. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. 457
4.10. Понятие объёма. Вычисление объёмов тел. 459
4.11. Понятие площади поверхности. Вычисление площадей поверхностей. 462
Задачи к разделу 4. 466
Приложение 1 (список используемых обозначений). 469
Приложение 2 (аксиоматика Д.Гильберта и другие системы аксиом). 470
Приложение 3 (основные формулы тригонометрии). 473
Приложение 4 (геометрический кроссворд). 475
Приложение 5 (латинский и греческий алфавиты). 477
Список литературы. 478
Предметный указатель. 480
Ответы к задачам.
Предисловие.
Данная книга представляет собой продолжение Части 1 учебного пособия с тем же названием. Как и первая часть книги, Часть 2 призвана помочь абитуриенту успешно подготовиться к сдаче двух вступительных экзаменов по математике - письменному и устному. Даже в том случае, если будущему абитуриенту не предстоит сдавать вступительный экзамен по устной математике, для уверенного решения математических задач необходимо повторить теоретический курс.
Книга написана по материалам лекций, читаемых автором, кандидатом физико-математических наук, доцентом факультета ВМиК, начиная с 2001 года и по сегодняшнее время на подготовительном отделении МГУ, а также с учётом опыта работы в экзаменационных комиссиях по математике на различных факультетах МГУ и на подготовительных курсах. Особое внимание в книге уделено математическим формулировкам определений и утверждений. В разделах, посвященных геометрии, на основе анализа известных учебников и пособий проведён сравнительный анализ различий в существующих подходах к определениям важнейших геометрических понятий.