Математика, Стойлова Л.П., 2002

Математика, Стойлова Л.П., 2002.
 
  В учебнике изложены научные основы начального курса математики. Профессионально-педагогическая направленность книги обеспечивается за счёт тщательного отбора теоретического материала и методологических подходов к его изложению. Теоретическая часть дополнена тренировочными упражнениями и заданиями для самостоятельной работы.

Способы задания множеств.
Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?
Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Например, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки: А - {3,4, 5,6}.
Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов.
Содержание
Предисловие 3
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ 6
§1. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 6
1. Понятие множества и элемента множества 7
2. Способы задания множеств 9
3. Отношения между множествами 11
4. Пересечение множеств 14
5. Объединение множеств 16
6. Свойства пересечения и объединения множеств 18
7. Вычитание множеств. Дополнение множества 23
8. Понятие разбиения множества на классы 26
9. Декартово произведение множеств 29
10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств 35
11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств 38
12. Основные выводы § 1 40
§2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 41
13. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями 42
14. Определение понятий 46
15. Основные выводы § 2 53
§3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 53
16. Высказывания и высказывателъные формы 53
17. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний 58
18. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм 61
19. Решение задач на распознавание объектов 63
20. Высказывания с кванторами 67
21. Отрицание высказываний и высказывательных форм 73
22. Отношения следования и равносильности между предложениями 77
23. Структура теоремы. Виды теорем 83
24. Основные выводы § 3 88
§4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 89
25. Умозаключения и их виды 89
26. Схемы дедуктивных умозаключений 94
27. Способы математического доказательства 99
28. Основные выводы § 4 104
§5. ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ 104
29. Структура текстовой задачи 105
30. Методы и способы решения текстовых задач 109
31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения 111
32. Решение задач «на части» 124
33. Решение задач на движение 128
34. Основные выводы § 5 141
§6. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ 141
35. Правила суммы и произведения 142
36. Размещения и сочетания 145
37. Основные выводы §6 151
§7. АЛГОРИТМЫ И ИХ СВОЙСТВА 152
38. Понятие алгоритма 153
39. Приемы построения алгоритмов 160
40. Основные выводы §7 165
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ 166
§8. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ 166
41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий 167
42. Взаимно однозначные соответствия 172
43. Основные выводы § 8 175
§9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 176
44. Понятие функции. Способы задания функций 176
45. Прямая и обратная пропорциональности 181
46. Основные выводы § 9 188
§10. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ 188
47. Понятие отношения на множестве 189
48. Свойства отношений 192
49. Отношения эквивалентности и порядка 198
50. Основные выводы § 10 203
§11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ 203
51. Понятие алгебраической операции 204
52. Свойства алгебраических операций 207
53. Основные выводы § 11 212
§ 12. ВЫРАЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА 212
54. Выражения и их тождественные преобразования 213
55. Числовые равенства и неравенства 218
56. Уравнения с одной переменной 220
57. Неравенства с одной переменной 225
58. Основные выводы § 12 228
Глава III. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ 229
§13. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА 229
§14. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 231
59. Об аксиоматическом способе построения теории 232
60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа233
61. Сложение 237
62. Умножение 243
63. Упорядоченность множества натуральных чисел 246
64. Вычитание 249
65. Деление 251
66. Множество целых неотрицательных чисел 254
67. Метод математической индукции 257
68. Количественные натуральные числа. Счет 259
69. Основные выводы § 14 260
§15. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ 261
70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше» 261
71. Теоретико-множественный смысл суммы 264
11. Теоретико-множественный смысл разности 266
73. Теоретико-множественный смысл произведения 270
74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел 273
75. Основные выводы § 15 277
§ 16. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ 277
76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения 278
77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности 284
78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин 287
79. Основные выводы § 16 292
§17. ЗАПИСЬ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГОРИТМЫ ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ 293
80. Позиционные и непозиционные системы счисления 293
81. Запись числа в десятичной системе счисления 296
82. Алгоритм сложения 299
83. Алгоритм вычитания 302
84. Алгоритм умножения 307
85. Алгоритм деления 311
86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной 315
87. Основные выводы § 17 319
§ 18. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 320
88. Отношение делимости и его свойства 320
89. Признаки делимости 324
90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель 329
91. Простые числа 331
92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел 334
93. Основные выводы § 18 336
§ 19. 0 РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 337
94. Понятие дроби 338
95. Положительные рациональные числа 342
96. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел 347
97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей 350
98. Действительные числа 355
99. Основные выводы § 19 359
Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ 361
§20. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ 361
100. Возникновение геометрии 361
101. О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой геометрии 365
102. Основные выводы § 20 370
§21. СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ 371
103. Углы 372
104. Параллельные и перпендикулярные прямые 373
105. Треугольники 375
106. Четырехугольники 377
107. Многоугольники 380
108. Окружность и круг 382
109. Основные выводы § 21 385
§22. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 386
110. Элементарные задачи на построение 389
111. Этапы решения задачи на построение 391
112. Основные выводы § 22 392
§23. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 392
113. Понятие преобразования 392
114. Движения и равенство фигур 395
115. Основные выводы § 23 397
§24. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ 397
116. Свойства параллельного проектирования 397
117. Многогранники и их изображение 399
118. Шар, цилиндр, конус и их изображение 402
119. Основные выводы § 24 405
§ 25. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 405
120. Длина отрезка и ее измерение 406
121. Величина угла и ее измерение 408
122. Понятие площади фигуры и ее измерение 409
123. Площадь многоугольника 411
124. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение 414
125. Основные выводы § 25 416.