Математика. Сборник задач по базовому курсу ЕГЭ, олимпиады, экзамены в ВУЗВУЗ. Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А., 2010

Название: Математика. Сборник задач по базовому курсу ЕГЭ, олимпиады, экзамены в ВУЗ.
Автор: Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А.
2010
    Настоящий сборник составлен на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Содержит теоретический материал и подборку задач с ответами.
    Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие ВУЗы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Оглавление.
От редактора 6
Предисловие 7
Часть I: Алгебра 9
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения и неравенства 9
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражении 9
1.2. Сравнение чисел 12
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем 13
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета 17
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений 21
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов 21
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений 24
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования 27
2.4. Смешанные задачи 31
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения 32
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного аргументов
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению 35
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим 38
3.4. Различные задачи на отбор корней 42
4. Стандартные текстовые задачи 44
4.1. Пропорциональные величины 44
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 46
4.3. Скорость, движение и время 49
4.4. Работа и производительность 53
4.5. Проценты, формула сложного процента 54
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства 57
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений 57
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования 60
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования 64
5.4. Смешанные задачи 68
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций 70
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента 70
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений 72
6.3. Системы тригонометрических уравнений 75
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства 80
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов 84
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков 84
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат 89
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств 91
8. Элементы математического анализа 94
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций 94
8.2. Исследование функций с помощью производной 98
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной 102
9. Текстовые задачи 106
9.1. Скорость, движение и время 106
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 108
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 111
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений 114
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 117
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений и неравенств с модулями 117
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях 122
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах 125
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов 126
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования 126
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах 129
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 133
11.4. Смешанные задачи 137
Часть II: Геометрия 139
Планиметрия 139
1. Треугольники 139
1.1. Прямоугольные треугольники 139
1.2. Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов 143
1.3. Медиана, биссектриса, высота 148
1.4. Подобие треугольников. Теорема Фалеса 151
1.5. Площади 155
2. Окружности 160
2.1. Углы в окружностях. Касание окружности и прямой 160
2.2. Свойства касательных, хорд, секущих 164
2.3. Смешанные задачи 168
3. Многоугольники 172
3.1. Параллелограммы 172
3.2. Трапеции 175
3.3. Общие четырехугольники. Правильные многоугольники ... 179
4. Координаты и векторы 183
4.1. Декартовы координаты и векторы на плоскости 183
Стереометрия 190
Введение в стереометрию 190
5. Призма 194
5.1. Прямая призма 194
5.2. Наклонная призма 198
6. Пирамида 200
6.1. Правильная пирамида 200
6.2. Тетраэдр 202
6.3. Произвольные пирамиды 204
7. Тела вращения 206
7.1. Цилиндр 206
7.2. Конус 208
7.3. Шар 211
8. Координаты и векторы 215
8.1. Декартовы координаты и векторы в пространстве 215
Ответы 219
Литература 236
Предисловие.
    «Базовый курс» рассчитан на закрепление школьного материала по математике и приобретение навыков, необходимых для решения задач ЕГЭ и стандартных задач вступительных экзаменов в ВУЗ.
    Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рамки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач, демонстрируются по ходу изучения материала.
    Задачи в разделах расположены по принципу «от простого - к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров.
    При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным разделам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбинации. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.
    Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
    Для задач из материалов ЕГЭ указан соответствующий уровень сложности: А1 - задачи базового уровня сложности; В - задачи повышенного уровня сложности; С - задачи высокого уровня сложности.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном экзамене по математике в МГУ.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращенное название факультета, затем - год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра 1 или 2 - это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета; на мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения - одна олимпиада весной).
После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает, что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете ВМК, третьим номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в 1997 году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета первым номером в варианте.