Математика: пособие для подготовки к централизованному тестированию и экзамену. Сиротина И.К., 2010

Название: Математика: пособие для подготовки к централизованному тестированию и экзамену.
Автор: Сиротина И.К.
2010
    Пособие написано в соответствии с программой по математике за курс средней школы и программой для поступающих в высшие и средние специальные учебные заведения. Содержит теоретические сведения справочного характера, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения и контрольные тесты по всем темам школьного курса математики. Предназначено для систематизации знаний и формирования умений и навыков абитуриентов, а также ликвидации пробелов при подготовке к экзаменам и централизованному тестированию.


СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. 5
1.1. Числовые множества 5
1.2. Делимость натуральных чисел 6
1.3. Простые и составные числа 6
1.4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 7
1.5. Пропорции, проценты 7
Тест для проверки теоретических знаний 8
Примеры 10
Задачи для самостоятельного решения 16
Контрольный тест 19
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 21
2.1. Формулы сокращенного умножения 21
2.2. Деление многочленов 21
2.3. Степени и арифметические корни 22
Тест для проверки теоретических знаний 23
Примеры 26
Задачи для самостоятельного решения 34
Контрольный тест 42
3. ФУНКЦИИ 45
3.1. Основные понятия и определения 45
3.2. Графики элементарных функций 45
3.3. Преобразования графиков функций 51
3.4. Изображения некоторых множеств точек на плоскости 54
Тест для проверки теоретических знаний 57
Примеры 62
Задачи для самостоятельного решения 70
Контрольный тест 73
4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ 76
4.1. Линейные уравнения 76
4.2. Исследование систем линейных уравнений 76
4.3. Линейные неравенства 77
Тест для проверки теоретических знаний 77
Примеры 79
Задачи для самостоятельного решения 82
Контрольный тест 84
5. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 86
5.1. Квадратичная функция 86
5.2. Квадратные уравнения 87
Тест для проверки теоретических знаний 88
Примеры 90
Задачи для самостоятельного решения 94
Контрольный тест 96
6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 99
6.1. Основные понятия и определения 99
6.2. Преобразование уравнений равносильные им уравнения 99
Тест для проверки теоретических знаний 100
Примеры 101
Задачи для самостоятельного решения 106
Контрольный тест 109
7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 112
7.1. Метод интервалов 112
7.2. Решение рациональных неравенств 113
Тест для проверки теоретических знаний 114
Примеры 115
Задачи для самостоятельного решения 121
Контрольный тест 123
8. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 126
8.1. Уравнения четной степени корня 126
8.2. Уравнения нечетной степени корня 127
Тест для проверки теоретических знаний 128
Примеры 129
Задачи для самостоятельного решения 136
Контрольный тест 139
9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 142
9.1. Методы решения неравенств 142
Тест для проверки теоретических знаний 143
Примеры 144
Задачи для самостоятельного решения 149
Контрольный тест 150
10. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МО ДУЛЯ 153
10.1. Определение модуля числа 153
10.2. Раскрытие модуля 153
10.3. Методы решений уравнений 154
Тест для проверки теоретических знаний 154
Примеры 155
Задачи для самостоятельного решения 158
Контрольный тест 159
11. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ 162
11.1. Методы решений неравенств 162
Тест для проверки теоретических знаний 162
Примеры 163
Задачи для самостоятельного решения 168
Контрольный тест 169
12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ 172
12.1. Свойства логарифмов 172
Тест для проверки теоретических знаний 173
Примеры 174
Задачи для самостоятельного решения 177
Контрольный тест '. 179
13. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 183
13.1. Показательные уравнения 183
13.2. Логарифмические уравнения 183
Тест для проверки теоретических знаний 184
Примеры 185
Задачи для самостоятельного решения 193
Контрольный тест 198
14. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 201
14.1. Показательные неравенства 201
14.2. Показательно-степенные неравенства 201
14.3. Логарифмические неравенства 202
Тест для проверки теоретических знаний 202
Примеры 204
Задачи для самостоятельного решения 213
Контрольный тест 215
15. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 218
15.1. Арифметическая прогрессия 218
15.2. Геометрическая прогрессия 218
Тест для проверки теоретических знаний 219
Примеры 220
Задачи для самостоятельного решения 226
Контрольный тест 228
16. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ 231
16.1. Основные тригонометрические тождества 231
16.2. Формулы сложения 231
16.3. Формулы двойного и тройного аргумента. 232
16.4. Формулы понижения степени 232
16.5. Формулы преобразования суммы в произведение 232
16.6. Формулы преобразования произведения в сумму 232
16.7. Универсальная тригонометрическая подстановка 233
16.8. Преобразование отрицательного аргумента 233
16.9. Формулы приведения. 233
Тест для проверки теоретических знаний 234
Примеры ..238
Задачи для самостоятельного решения 244
Контрольный тест 250
17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ У РАВНЕНИЯ 253
17.1. Простейшие тригонометрические уравнения 253
17.2. Однородные уравнения относительно sin x и cos х 254
17.3. Решение уравнения вида a sinx + b cosx = с 254
Тест для проверки теоретических знаний 256
Примеры 258
Задачи для самостоятельного решения 264
Контрольный тест 268
18. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 271
18.1. Правила дифференцирования 271
18.2. Таблица производных элементарных и сложных функций 271
18.3. Геометрический и физический смысл производной 272
Тест для проверки теоретических знаний 273
Примеры 275
Задачи для самостоятельного решения 282
Контрольный тест 287
19. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ 290
19.1. Определение промежутков монотонности функции 290
19.2. Экстремум функции 290
19.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке 291
Тест для проверки теоретических знаний 291
Примеры 293
Задачи для самостоятельного решения 298
Контрольный тест 300
20. ВЕКТОРЫ 303
20.1. Основные понятия и определения 303
20.2. Линейные действия над векторами 304
20.3. Скалярное произведение векторов 305
Тест для проверки теоретических знаний 305
Примеры 307
Задачи для самостоятельного решения 310
Контрольный тест 312
21. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ 315
Задачи для самостоятельного решения 322
Контрольный тест 330
22. ПЛАНИМЕТРИЯ 333
22.1. Углы и прямые 333
22.2. Многоугольник 335
22.3. Соотношения между сторонами и углами в треугольнике 335
22.4. Линии в треугольнике 336
22.5. Формулы для вычисления площади треугольника 338
22.6. Признаки равенства и подобия треугольников 338
22.7. Четырехугольники 339
22.8. Окружность и круг 341
22.9. Вписанные и центральные углы 343
22.10. Вписанная и описанная окружность 343
22.11. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. 345
22.12. Шестиугольник 346
Тест для проверки теоретических знаний 346
Примеры 351
Задачи для самостоятельного решения. 357
Контрольный тест 364
23. СТЕРЕОМЕТРИЯ 367
23.1. Свойства прямых и плоскостей 367
23.2. Призма .369
23.3. Пирамида 370
23.4- Правильные многогранники 371
23.5. Цилиндр 372
23.6. Конус 372
23.7. Сфера и шар 373
23.8. Комбинации многогранников и тел вращения 374
Тест для проверки теоретических знаний 375
Примеры 378
Задачи для самостоятельного решения 385
Контрольный тест 392
Литература 395
ВВЕДЕНИЕ.
    Данное пособие является результатом обобщения многолетнего опыта работы автора по подготовке школьников к вступительным испытаниям в высшие и средние специальные учебные заведения, а также опыта подготовки абитуриентов к централизованному тестированию.
    Цель пособия - ликвидация пробелов в знаниях и овладение выпускником школы системой математических знаний, которые необходимы как для успешного прохождения вступительных испытаний в высшие и средние специальные учебные заведения, так и для дальнейшего продолжения математического образования.
Педагогическая практика показывает, что попытка актуализации не приведенных ранее в систему знаний неизбежно требует их механического заучивания и ведет к кратковременному запоминанию. С этой целью в пособии изъят из системы «лишний» материал (тот учебный материал, который не влияет на образование связей в системе) и создана система оптимальных методов решений задач. Это позволило уменьшить объем материала, требующего механического запоминания, и установить связи между элементами учебного материала как в пределах одной темы (модуля), так и между всеми учебными модулями, и тем самым способствовать образованию устойчивых ассоциаций и повышению качества и скорости решения задач.
    Книга содержит 23 учебных модуля (темы).
Изучение всех модулей проводится по следующей схеме:
Теоретический блок содержит оперативные теоретические сведения: систему понятий, свойств, признаков, утверждений, правил, методов и алгоритмов решений ключевых задач. Контроль: тематический тест для проверки теоретических знаний. Решение ключевых задач. Приведены примеры решений опорных задач. Рассмотрены оптимальные методы решений. Показаны приемы решений тестовых заданий. Решение обучающих задач. Представлена система обучающих задач, в которой отражены все особенности задач данного класса. Приведены задачи репродуктивного, частично-поискового, поискового и исследовательского характера. Контроль: тематический тест для проверки практических умений и навыков.