Математика, Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ, Манова А.Н., 2012

Математика, Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ, Манова А.Н., 2012.

   Учебно-методическое пособие адресовано выпускникам средних школ для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике. В нем представлены краткий теоретический материал, методические рекомендации с учетом современных требований, образцы решения типовых тестовых заданий, задания для самоподготовки, учебно-тренировочные тесты.
Пособие подготовлено в соответствии с кодификаторами элементов содержания и требований для составления контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году единого государственного экзамена.
Настоящее учебное пособие представляет собой сборник заданий для подготовки к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике для учащихся 11-х классов.
Пособие содержит краткий теоретический материал по алгебре, тригонометрии, геометрии, началам математического анализа, информацию для запоминания, методические рекомендации к решению задач по всем темам, включенным в ЕГЭ, образцы решения типовых тестовых заданий по математике и задания для самостоятельной работы, соответствующие уровням сложности письменных заданий от В1 до С6, 11 вариантов учебно-тренировочных тестов, а также задания повышенной трудности для учащихся, поступающих на факультеты с углубленным изучением математики (отмечены). С 2012 года в ЕГЭ включены вопросы по темам «Элементы комбинаторики» и «Элементы теории вероятностей».
Оглавление
Предисловие 3
Условные обозначения 4
Глава 1. Арифметика 5
§1. Арифметические действия с дробями 5
Основное свойство дроби 6
Смешанное число 8
Сложение, вычитание, умножение и деление дробей 9
§2. Пропорция 12
Основное свойство пропорции 12
Производные пропорции 13
§3. Проценты 15
Типы задач на проценты 15
§4. Задания для подготовки к ЕГЭ (Bl, B12) 18
Глава 2. Алгебраические выражения 35
§1. Степени и корни 35
Правила действий со степенями 35
Правила действий с радикалами 36
Таблица квадратов чисел 36
§2. Формулы сокращенного умножения 46
§3. Преобразование алгебраических выражений 49
§4. Модуль (абсолютная величина) числа. Определение модуля 54
Геометрический смысл модуля 54
Основные свойства модуля 55
Глава 3. Алгебраические уравнения и системы уравнений 58
§1. Уравнения первой степени 58
Решение уравнений первой степени с одной переменной 59
§2. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными 60
Метод подстановки 61
Метод алгебраического сложения 61
§3. Уравнение второй степени с одной переменной 63
Квадратное уравнение 63
Неполные квадратные уравнения 63
Формулы корней квадратного уравнения 64
Свойства корней квадратного уравнения 67
§4. Решение уравнений, приводимых к квадратным 69
§5. Решение систем, содержащих квадратные уравнения 72
§6. Решение систем уравнений методом введения новых переменных 73
§7. Иррациональные уравнения 76
§8. Решение уравнение с применением теоремы Безу 79
§9. Решение уравнений, содержащих неизвестную величину под знаком модуля 81
§10. Решение уравнений с параметрами 87
§11. Задания для подготовки к ЕГЭ 93
§12. Применение уравнений к решению задач (В 12) 102
Задачи на совместную работу и производительность труда 102
Задачи на движение ПО
Задачи на нахождение чисел 127
Задачи, содержащие геометрические и физические величины (В4; В9; В10) 133
Глава 4. Алгебраические неравенства и системы неравенств 139
§1. Свойства числовых неравенств 139
§2. Линейные неравенства 141
§3. Квадратные неравенства 142
§4. Решение неравенств методом интервалов 147
§5. Иррациональные неравенства 150
§6. Системы и совокупности неравенств. Двойные неравенства 154
§7. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля (О, СЗ) 157
§8. Неравенства с параметрами 165
§9. Задания для подготовки к ЕГЭ 168
Глава 5. Функции и графики 176
§1. Общие свойства функций 176
§2. График линейной функции 188
§3. Обратная пропорциональная зависимость 190
§4. Квадратичная функция 191
§5. Степенная функция 193
§6. Показательная функция 195
§7. Логарифмическая функция 196
§8. Тригонометрические функции 198
§ 9. Преобразования графиков 203
§10. Задания для подготовки к ЕГЭ (В8) 205
Глава 6. Показательные уравнения и неравенства 209
§1. Решение показательных уравнений 209
§2. Решение показательных неравенств 214
§3. Системы показательных уравнений и неравенств 215
§4. Задания для подготовки к ЕГЭ (В7; О) 218
Глава 7. Логарифмические уравнения и неравенства 226
§1. Свойства логарифмов 226
§2. Преобразование выражений, содержащих логарифмы 227
§3. Решение логарифмических уравнений 232
§4. Решение логарифмических неравенств 239
§5. Системы показательных и логарифмических уравнений (С1) 242
§6. Задания для подготовки к ЕГЭ (В11; С1; С3) 245
Глава 8. Тригонометрия 260
§1. Определения тригонометрических функций 260
Радианное измерение углов 260
Определение тригонометрических функций острого угла 260
Определения тригонометрических функций произвольного угла 261
Знаки тригонометрических функций по четвертям 262
Значения тригонометрических функций некоторых углов 263
§2. Формулы приведения 264
§3. Основные тригонометрические тождества 265
§4. Периоды тригонометрических функций 268
§5. Формулы двойного, половинного и тройного аргументов 269
§6. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение и обратная операция 276
§7. Определения и свойства обратных тригонометрических функций 279
§8. Решение тригонометрических уравнений 282
Простейшие тригонометрические уравнения 282
Методы решения тригонометрических уравнений 283
§9. Задания для подготовки к ЕГЭ (С1) 290
Глава 9. Производная функция и ее применение 315
§1. Определение производной 315
§2. Вычисление производной 315
Основные правила дифференцирования 315
Таблица производных основных элементарных и сложных функций 316
§3. Геометрический и механический смысл производной функции 319
§4. Задания для подготовки к ЕГЭ (В8) 319
§5. Уравнение касательной к графику функции 334
§6. Монотонность функции. Экстремумы функции 336
Условия существования максимума функции вточкех0 336
Условия существования минимума функции в точке ха 337
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке 338
§7. Задания для подготовки кЕГЭ(В8; ВП) 338
Глава 10. Интеграл 355
§1. Первообразная функции. Правила нахождения первообразных 355
Таблица первообразных основных элементарных функций 355
§2. Интеграл. Правила вычисления интегралов 357
Таблица некоторых интегралов 358
§3. Применение интеграла для вычисления площадей плоских фигур 359
Глава 11. Прогрессии 362
§1. Арифметическая прогрессия 362
Характеристическое свойство конечной арифметической прогрессии 362
§2. Геометрическая прогрессия 365
Глава 12. Планиметрия 370
§1. Треугольники 370
Соотношения между сторонами треугольника (неравенство треугольника) 370
Признаки равенства треугольников 370
Замечательные отрезки в треугольнике и их свойства 371
Пропорциональные отрезки. Теорема Фалеса 373
Признаки подобия треугольников 374
Формулы для вычисления площадей треугольников 375
Равнобедренный треугольник 376
Равносторонний треугольник 376
Прямоугольный треугольник 377
Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника 377
Соотношения между сторонами и умами
произвольного треугольника 380
Основные задачи на решение косоугольных треугольников 380
§2. Задания В4. Подготовка к выполнению заданий В9, С2 382
§3. Подготовка к выполнению заданий С4 386
§4. Многоугольники 390
Параллелограмм 390
Виды параллелограмма 391
Трапеция 393
Выпуклый многоугольник 394
§5. Задания для подготовки к ЕГЭ (В4) 395
§6. Подготовка к выполнению заданий С4 397
§7. Задания С4 406
§8. Окружность и круг 409
Касательная, секущая, хорда 409
Площадь круга и его частей 411
Углы, связанные с окружностью 411
Задания В4 413
Задачи для подготовки к выполнению заданий С4 419
Глава 13. Стереометрия 426
§1. Пирамида. Призма 426
Теорема о трех перпендикулярах 431
§2. Цилиндр. Конус. Шар 431
§3. Скрещивающиеся прямые 433
§4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости 434
§5. Комбинации геометрических тел 439
§6. Задания В9. Подготовка к выполнению заданий С2 441
§7. Задания С2 447
Глава 14. Учебно-тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ 463
Вариант 1 463
Вариант 2 466
Вариант 3 469
Вариант 4 472
Вариант 5 474
Вариант 6 478
Вариант 7 481
Вариант 8 483
Вариант 9 487
Вариант 10 489
Ответы на задания части 1 492
Ответы на задания части 2 493
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ 495
Ответы к сборнику задач 514
Литература 535