Математика для поступающих, Обучающий курс, Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А., 2003

Математика для поступающих, Обучающий курс, Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А., 2003.
   Данное пособие соответствует новой программе по математике для вступительных экзаменов в высшие учебные заведения Республики Беларусь. Оно включает материал, относящийся к разделу «Арифметика, алгебра, начала анализа».

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приведены соответствующие теоретические сведения. Теоремы и формулы, входящие в вопросы программы и отмеченные в ней звездочкой, даны с доказательствами и выводами; весь остальной теоретический материал приводится без доказательств. За теоретическими сведениями следуют примеры с подробными решениями. Авторы стремились к тому, чтобы решать сложные задачи наиболее простыми, рациональными методами. Далее читателям предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым — указания.
Теоретический материал, изложенный в пособии, будет полезен при повторении школьного курса математики; он необходим всем поступающим, особенно тем, кто закончил среднюю школу ранее и не имеет в своем распоряжении учебников.
Внимательное изучение детальных решений многочисленных примеров по разделам программы даст возможность абитуриенту хорошо подготовиться к вступительным экзаменам и успешно выдержать их.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
1. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ МАТЕМАТИКИ 9
1.1. Множества 9
1.2. Определение математического понятия. Аксиома. Доказательство 10
1.3. Теорема. Необходимые и достаточные условия 12
1.4. Индукция. Метод математической индукции 14
2. ЧИСЛА И КООРДИНАТЫ 25
2.1. Натуральные числа и их делимость. Признаки делимости 25
2.2. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное 31
2.3. Целые числа и действия над ними 34
2.4. Рациональные числа 38
2.5. Пропорции 45
2.6. Десятичные дроби 48
2.7. Проценты 51
2.8. Бесконечные десятичные дроби. Действительные числа 55
2.9. Прямоугольные координаты на плоскости. Преобразования прямоугольных координат 61
2.10. Расстояние между двумя точками на плоскости 66
2.11. Уравнение окружности 69
3. СТЕПЕНИ. МНОГОЧЛЕНЫ. КОРНИ 72
3.1. Степень действительного числа 72
3.2. Рациональные выражения. Тождественные преобразования. Тождества 77
3.3. Одночлены. Многочлены. Действия над одночленами и многочленами 78
3.4. Деление многочленов 85
3.5. Формулы сокращенного умножения 91
3.6. Разложение многочлена на множители 95
3.7. Корень n-й степени из действительного числа. Арифметический корень я-й степени. Правила действий над корнями 100
4. ФУНКЦИЙ И ПРЕДЕЛЫ 107
4.1. Основные понятия 107
4.2. Прямая пропорциональная зависимость 115
4.3. Линейная функция 119
4.4. Обратная пропорциональность 124
4.5. Квадратичная функция 129
4.6. Степенная функция 134
4.7. Показательная функция 137
4.8. Логарифмическая функция 139
4.9. Преобразования графиков функций 151
4.10. Предел функции 161
4.11. Непрерывность функции 164
4.12. Некоторые важные пределы 165
5. УРАВНЕНИЯ 169
5.1. Уравнение и его корни 169
5.2. Равносильные уравнения 171
5.3. Линейное уравнение с одной переменной 176
5.4. Уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби 180
5.5. Квадратные уравнения 183
5.6. Алгебраические уравнения высших степеней 193
5.7. Иррациональные уравнения 201
5.8. Показательные уравнения 206
5.9. Логарифмические уравнения 212
5.10. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 221
5.11. Уравнения с параметром 227
5.12. Графический метод решения уравнений 230
6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 234
6.1. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными 234
6.2. Системы т линейных уравнений с и переменными 239
6.3. Метод последовательного исключения переменных 240
6.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений 245
6.5. Задачи на составление и решение систем уравнений 254
6.6. Системы показательных уравнений 261
6.7. Системы логарифмических уравнений 267
6.8. Системы показательно-логарифмических уравнений 273
7. НЕРАВЕНСТВА 276
7.1. Числовые неравенства и их свойства. Доказательства неравенств 276
7.2. Неравенства с одной переменной 286
7.3. Линейные неравенства с одной переменной 288
7.4. Системы линейных неравенств. Неравенства, сводящиеся к. системам неравенств 291
7.5. Неравенства второй степени с одной переменной 294
7.6. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 298
7.7. Дробно-рациональные неравенства 302
7.8. Иррациональные неравенства 308
7.9. Показательные неравенства 318
7.10. Логарифмические Неравенства 324
7.11. Неравенства с двумя переменными 331
8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ 337
8.1. Числовая последовательность 337
8.2. Предел числовой последовательности 340
8.3. Арифметическая прогрессия 345
8.4. Геометрическая прогрессия 351
9. ПРОИЗВОДНАЯ 359
9.1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Основные правила дифференцирования 359
9.2. Основные формулы дифференцирования 361
9.3. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке 366
9.4. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой 377
9.5. Исследование функций и построение их графиков 382
10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 391
10.1. Определение тригонометрических функций 391
10.2. Основные свойства тригонометрических функций 394
10.3. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов 402
10.4. Формулы приведения 410
10.5. Тригонометрические функции двойного и половинного угла 417
10.6. Преобразование в произведение сумм и разностей тригонометрических функций 423
10.7. Преобразования произведений тригонометрических функций в полусумму и полуразность 429
10.8. Производные тригонометрических функций 435
10.9. Свойства функции y = sinx и ее график 438
10.10. Свойства функции у = cosx и ее график 440
10.11. Свойства функции у = tgx и ее график 442
10.12. Свойства функции у = ctgx и ее график 444
10.13. Обратные тригонометрические функции 445
11. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 452
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения 452
11.2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям 456
11.3. Однородные тригонометрические уравнения 459
11.4. Тригонометрические уравнения, решаемые введением вспомогательного угла 466
11.5. Тригонометрические уравнения, решаемые методом замены переменной 470
11.6. Тригонометрические уравнения, решаемые методом разложения на множители 478
11.7. Разные тригонометрические уравнения. 484