Математика, Алгебра, Начала математического анализа, Методическое пособие, 11 класс, Шабунин М.И., 2010

Математика, Алгебра, Начала математического анализа, Методическое пособие, 11 класс, Шабунин М.И., 2010.
    Методическое пособие для 11 класса является частью учебно-методического комплекта для старших классов школ с углубленным изучением математики. Представлены разделы: тригонометрические, показательная и логарифмическая функции, производная и ее применение, элементы комбинаторики и теории вероятностей.
Главы методического пособия соответствуют главам учебника. В каждом из них содержатся краткие теоретические сведения, примеры с решениями, методические комментарии и дидактические материалы.
Для учителей, работающих в классах физико-математического и естественно-научных профилей.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
В данной главе последовательно изучаются следующие тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Систему упражнений составляют задачи, решение которых основано на установлении и использовании основных свойств этих функций. В первую очередь речь идет о поиске области определения и множества значений сложных функций, построенных с участием тригонометрических, об исследовании этих функций на четность и периодичность, об отыскании их нулей, а также об определении промежутков знакопостоянства и монотонности.
Важное место в системе упражнений отводится задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке и на оценку и сравнение значений функции при различных значениях аргумента. Особое внимание уделяется построению путем геометрических преобразований графиков сложных тригонометрических функций, «чтению» полученных графиков и, наконец, функционально-графическому решению уравнений и неравенств.
Следует обратить внимание учащихся на то, что сложные функции, построенные с участием тригонометрических, в большинстве случаев — периодические, и это обстоятельство позволяет существенно упростить изучение их свойств и построение графиков. Периодическую функцию можно вначале изучить на периоде и затем распространить выводы, касающиеся ее свойств, на всю область определения. Аналогичный подход удобно использовать и при построении графиков периодических функций: вначале построить часть графика на отрезке, длина которого совпадает с одним из периодов Т функции, и затем дополнить построенную часть участками, полученными ее параллельным переносом вдоль оси Ох влево и вправо на Т, 2Т, 3Т и т. д.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 5
§ 1. Функции синус и косинус 6
§2. Функции тангенс и котангенс 20
§3. Обратные тригонометрические функции 27
Дидактические материалы 33
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства 35
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения 37
§2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим путем замены переменной 44
§3. Метод разложения на множители. Типичные преобразования, используемые для упрощения тригонометрических уравнений 48
§4. Метод оценки левой и правой частей уравнения 55
§5. Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения, содержащие знаки модуля и корни 57
§6. Решение тригонометрических уравнений с параметром 63
§7. Решение тригонометрических неравенств 65
§8. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции 71
Дидактические материалы 74
Глава XIII. Производная и дифференциал 85
§1. Определение производной. Производные функций х11, sinx, cosx 85
§2. Производные показательной и логарифмической функции. 91
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал 91
§4. Геометрический и физический смыслы производной и дифференциала 97
Дидактические материалы 102
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций 105
§1. Основные теоремы для дифференцируемых функций 106
§2. Возрастание и убывание функции 109
§3. Экстремумы функций 111
§4. Наибольшее и наименьшее значение функции 116
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 121
§6. Построение графиков функций 127
Дидактические материалы 135
Глава XV. Первообразная и интеграл 141
§ 1. Первообразная функции 141
§2. Неопределенный интеграл 145
§3. Определенный интеграл 157
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 167
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам 173
Дидактические материалы 176
Глава XVI. Дифференциальные уравнения 182
§ 1. Основные понятия 182
§2. Уравнения с разделяющимися переменными 183
§3. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков с постоянными коэффициентами 186
§4. Неоднородные линейные уравнения 190
Дидактические материалы 191
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов 194
§1. Показательные и логарифмические системы 195
§2. Тригонометрические системы 200
Дидактические материалы 211
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными 221
§1. Геометрическое описание решений уравнений, неравенств и систем с двумя переменными 221
§2. Аналитические приемы решения уравнений и неравенств с двумя переменными 232
§3. Использование геометрического подхода для решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными, содержащих параметры 235
Дидактические материалы 242
Глава XIX. Делимость целых чисел. Целочисленные решения уравнений 246
§ 1. Делимость чисел 246
§ 2. Сравнения 250
§3. Решение уравнений в целых числах 253
§4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными 258
Дидактические материалы 261
Глава XX. Комбинаторика 264
§ 1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 264
§ 2. Сочетания и размещения 275
§3. Комбинаторные соотношения 286
Дидактические материалы 289
Глава XXI. Элементы теории вероятностей 293
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 293
§ 2. Сложение вероятностей 313
§3. Условная вероятность. Независимость событий 316
§4. Формула Бернулли 326
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 327
Дидактические материалы 334
Приложение. Повторение учебного материала с использованием избранных задач повышенного и высокого уровней сложности из вариантов ЕГЭ 337
§1. Преобразование и вычисление значений выражений 338
§ 2. Функции 340
§3. Уравнения и системы уравнений 347
§4. Неравенства 353.