Математичний аналіз для инженерів, Навчальний посібник, Частина ІI, Сенчук Ю.Ф., 2006

Математичний аналіз для инженерів, Навчальний посібник, Частина ІI, Сенчук Ю.Ф., 2006.
Викладено розділи: криволінійні і поверхневі інтеграли, теорія поля, числові і функціональні ряди та інтеграл Фур'є, диференціальні рівняння і системи диференціальних рівняннь, а також додаткові розділи: інтеграли залежні від параметра і наближені методи розв'язку звичайних диференціальних рівняннь та їх систем. Всі викладені теоретичні факти доведено і проілюстровано великою кількістю прикладів і задач.
Призначено для студентів інженерно-технічних та економічних спеціальностей.

Изложены разделы: криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля, числовые и функциональные ряды, интеграл Фурье, дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений, а также дополнительные разделы: интегралы, зависящие от параметра и приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Все изложенные теоретические факты доказаны и проиллюстрированы большим количеством примеров и задач.
Предназначено для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.
Общие понятия, связанные с дифференциальными уравнениями.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее аргументы и производные различных порядков от этой функции по различным аргументам.
Если неизвестная функция зависит от двух и более переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Примером может служить уравнение Пуассона
ОГЛАВЛЕНИЕ Часть 2
Предисловие.
XII. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
1. Криволинейные интегралы 1-го рода и их вычисление
2. Некоторые применения криволинейных интегралов 1-го рода
3. Интегралы по поверхности 1-го рода
4. Криволинейные интегралы 2-го рода
5. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода.
6. Связь между криволинейными интегралами I-го и 2-го рола
7. Формула Грина-Римана
8. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования
9. Условие полного дифференциала
10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
11. Интегралы по поверхности 2-го рода
12. Формула Остроградского-Гаусса
13. Формула Стокса
14. Условия независимости криволинейного интеграла по пространственной дуге от формы дуги
Задачи и упражнения к главе XII
XIII. Интегралы, зависящие от параметра
1. Определенные интегралы, зависящие от параметра
2. Дифференцирование и интегрирование определенных интегралов по параметру
3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
4. Предельный переход по параметру под знаком несобственного интеграла
5. Непрерывность несобственного интеграла по параметру
6. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру
7. О других признаках равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру
8. Другие виды несобственных интегралов, зависящих от параметра
9. Гамма-функция и ее основные свойства
10. Формула Стирлинга
11. Производная гамма-функции
12. Бэта-функция.
XIV. Основы математической теории поля
1. Понятие скалярного поля
2. Производная скалярного поля в данном направлении
3. Градиент скалярного поля
4. Свойства градиента.
5. О плоскопараллельном поле
6. Векторное поле
7. Поток векторного поля через поверхность
8. Дивергенция векторного поля.
9. Теорема Остроградского-Гаусса. Соленоидальное поле
10. Циркуляция и ротор векторного поля
11. Свойства ротора. Теорема Стокса
12. Потенциальное поле
13. Потенциал электрического поля.
14. Символические операторы теории поля
15. Произвольные системы ортогональных криволинейных координат
16. Вычисление градиента, дивергенции, лапласиана и ротора в цилиндрических координатах
17. Градиент, дивергенция, лапласиан и ротор в сферических координатах
XV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям
2. Общие понятия, связанные с дифференциальными уравнениями
3. Простейшие сведения об уравнениях 1-го порядка
4. Уравнения с разделяющимися переменными.
5. Уравнения, однородные в смысле Эйлера
6. Линейные уравнения 1-го порядка
7. Уравнение Бернулли.
8. Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка
9. Составление дифференциального уравнения 1-го порядка по его общему решению.
10. Нахождение ортогональных траекторий семейств кривых
11. Особое решение уравнения 1-го порядка
12. Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков
1З. Простейшие случаи понижения порядка уравнений
14. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
15. Однородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
16. Общие теоремы о неоднородных линейных уравнениях 2-го порядка
17. Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
18. Исследование простейших колебательных процессов
19. Интегрирование неоднородных линейных уравнений 2-го порядка 1методом вариации произвольных постоянных
20. Линейные уравнения высших порядков
XVI. Первичные сведения о системах линейных дифференциальных уравнении
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (СДУ) путем сведения к одному уравнению более высокого порядка
3. Метод интегрируемых комбинаций
4. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений
5. Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
6. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений (НЛСДУ)
XVII. Простейшие приближенные методы интегрирования Дифференциальных уравнений
1. Общие замечания.
2. Интегрирование дифференциальных уравнении при помощи рядов
3. Интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка конечно-разностным методом Эйлера
4. Оценка погрешности метода Эйлера в конечном интервале
5. Интегрирование нормальных систем 1-го порядка и уравнений высших порядков методом Эйлера
6. Интегрирование уравнений 1-го порядка методом Эйлера с полушагом
7. Общее описание метода Рунге-Кутта
8. Интегрирование дифференциальных уравнений методом Адамса-Штёрмера
XVIII. Ряды
1. Понятие о числовом ряде
2. Необходимый признак сходимости ряда
3. Сравнение рядов с положительными членами
4. Признак Даламбера
5. Интегральный признак Коши
6. Знакочередующиеся ряды
7. Знакопеременные ряды
8. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Задачи и упражнения к главе XVIII
XIX. Функциональные ряды
1. Понятие о функциональном ряде
2. Равномерная сходимость функционального ряда
3. Непрерывность суммы функционального ряда
4. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
5. Последовательности функций и их свойства
Задачи и упражнения к главе XIX
XX. Степенные ряды
1. Степенной ряд и область его сходимости
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
3. Ряд Маклорена
4. Разложение функций e^x, sinx, и cosx в ряд Маклорена
5. Ряд Маклорена для функций (1 + x)^m и arcsinx
6. Ряд Маклорена для функций ln(1 + x) и arctgx
7. Вычисление интегралов при помощи рядов
8 Ряд Тейлора как обобщение ряда Маклорена
Задачи и упражнения к главе XX.
XXI. Ряды Фурье
1. Некоторые предварительные сведения
2. Ряд Фурье для функции с периодом 2p
3. Теорема Римана-Лебега и ее следствия
4. Интеграл Дирихле.
5. Принцип локализации.
6. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции
7. Скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
9. Ряд Фурье функции с произвольным периодом
10. Тригонометрические ряды для функций, заданных на отрезке [-l, l]
11. Комплексная форма ряда Фурье
12. Ряды Фурье по произвольным ортогональным и по ортонормированным системам функций.
13. О разных понятиях близости двух функций в промежутке.
14. Минимальное свойство коэффициентов ряда Фурье.
15. Замкнутые системы функций.
16. Замкнутость системы тригонометрических функций.
17. Полнота системы тригонометрических функций
18. Обобщенное уравнение замкнутости
19. Геометрическая аналогия разложения функции в ряд Фурье
20. Разложение функций в ряд Фурье по системе, ортогональной с весом
Задания к разделу XXI
XXII. Интеграл Фурье и преобразования Фурье.
1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
2. Одна предварительная формула.
3. Представление функции интегралом Фурье
4. Аналогия между интегралом Фурье и рядами Фурье
5. Комплексная форма интеграла Фурье
6. Преобразование Фурье и его простейшие свойства
XXIII. Элементы спектральной теории сигналов
1. Спектральные характеристики периодических сигналов
2. О комплексном спектре периодического сигнала
3. Спектр непериодического сигнала
4. Теорема Рэлея и ее физический смысл
XXIV. Системы линейных дифференциальных уравнений
1. Основные сведения из векторно-матричного анализа
2. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнении 1-го порядка
3. Теорема Коши о существовании и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений.
4. Пространство решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка
5. Фундаментальная матрица и ее свойства
6. Выражение решения однородной линейной системы через ее фундаментальную матрицу
7. Вронскиан и формула Лиувилля
8. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами.
9. Представление фундаментальной матрицы однородной линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи матричной экспоненты.
10. Устойчивость и ограниченность решений однородной линейной системы с постоянными коэффициентами
11. Общее решение неоднородной линейной системы
12. Выражение решения неоднородной линейной системы при помощи матрицы Коши
13. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами
14. Понятие о резонансе в линейной динамической системе
15. Устойчивость и асимптотическое поведение решений систем линейных уравнений Устойчивость и ограниченность решений однородных линейных систем с постоянными коэффициентами
16. Понятие о возмущенной системе и ее устойчивости.
17. Лемма об интегральном неравенстве
18. Теоремы о решении линейных систем с малыми возмущениями
19. Теоремы об ограниченности решений некоторых линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка
20. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие понятия
21. Редукция линейной краевой задачи к задаче Коши
22. Редукция краевой задачи к уравнениям в конечных разностях
23. Метод прогонки решения конечно-разностных уравнений линейной краевой задачи
24. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка
Общие сведения
25. Интегрирование линейных уравнений в частных производных 1-го порядка
26. Интегрирование квазилинейных уравнений в частных производных 1-го порядка
Задачи и упражнения к главе XXIV
Литература