Математический анализ, Введение в анализ, Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., 1983

Математический анализ, Введение в анализ, Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., 1983.

   Учебное пособие для студентов-заочников I курса физико-математических факультетов педагогических институтов.
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов. Она входит в серию пособий по математическому анализу, выходящую под общей редакцией профессора Н. Я. Виленкина («Дифференциальное исчисление» (1984 г.), «Интегральное исчисление» (1979 г.), «Ряды» (1982 г.), «Дифференциальные уравнения» (1984), «Мощность, метрика, интеграл» (1980 г.) «Элементы функционального анализа в задачах» (1978 г.), «Теория аналитических функций» (1985).
Структура пособия обеспечивает самостоятельную работу студентов по изучению данного курса. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными подробно решенными примерами.
   Данная книга входит в серию учебных пособий для студентов-заочников по курсу «Математический анализ и теория функций», выпущенную издательством «Просвещение» под общей редакцией профессора Н. Я. Виленкина: Н. Я. Виленкин и Е.С. Куницкая—«Введение в анализ» (1973 г.). Н. Я. Виленкин, Е. С. Куницкая и А. Г. Морд-кович — «Дифференциальное исчисление» (1978 г.), «Интегральное исчисление» (1979 г.), Н. Я. Виленкин, В. В. Цукерман, М. А. Доброхотова, А. Н.Сафонов — «Ряды» (1982 г.), Н. Я. Виленкин, М. Б. Балк, В. А. Петров—«Мощность, метрика, интеграл»(1980г.). Готовится к печати учебное пособие Н. Я. Виленкина, М. А. Доброхотовой, А. Н. Сафонова «Дифференциальные уравнения». В процессе написания книг этой серии выяснилась необходимость привести первую из них в соответствие с последующими, учесть происшедшее за это время изменение программ и сделать более строгим изложение материала. Эта работа была выполнена Н. Я. Виленкиным и А. Г. Мордковичем, причем произведенные изменения оказались настолько существенными, что получившуюся книгу следует рассматривать как самостоятельную, а не как второе издание ранее вышедшей под тем же названием.
Существенно изменено изложение теории действительных чисел, которое теперь строится на основе предложенной одним из авторов аксиоматики множества положительных действительных чисел. В нее входит лишь 8 аксиом (для сравнения укажем, что аксиоматика множества действительных чисел как архимедовски упорядоченного поля содержит 17 аксиом, см., например: Ш и л о в Г. Е. Математический анализ. — М.: Физматгиз, 1960, ч. I). Предложенные нами аксиомы весьма наглядны, и изучение множества действительных чисел на их основе не вызовет, по нашему мнению, затруднений у студентов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Отображения. Действительные числа 6
§ 1. Отображения множеств и их виды 6
1. Отображения множеств 6
2. Обратное отображение 9
3. Композиция отображений 9
§ 2. Действительные числа 12
4. Аксиомы множества положительных действительных чисел 12
5. Координатный луч 15
6. Условие единственности разделяющего числа 16
7. Теорема Евдокса — Архимеда и ее следствия 16
8. Умножение и деление в 18
9. Десятичная запись положительных действительных чисел. Измерение отрезков 19
10. Множество действительных чисел и его свойства 21
11. Координатная прямая* Окрестности 24
12. Ограниченные числовые множества. Точная верхняя и точная нижняя грани числовых множеств 26
Глава II. Числовые функции 32
§ 3. Функции и выражения 32
13. Определение числовой функции 32
14. Рациональные функции 33
15. Иррациональные функции 36
16. Тригонометрические функции 36
17. Композиция числовых функций 39
18. Таблицы значений функции. Функциональные шкалы 40
19. График функции 41
20. «Сложение» и «умножение» графиков функций 45
§ 4. Свойства функций 50
21. Ограниченные и неограниченные функции 50
22. Монотонные функции 53
23. Четные и нечетные функции 56
24. Периодические функции 59
25. Последовательности 62
Глава III. Предел функции 68
§ 5. Предел функции на бесконечности 68
26. Бесконечно малые функции 68
27. Предел функции при х 73
28. Другие формулировки определения предела функции при х 75
29. Физический смысл понятия предела функции при х 76
30. Свойства пределов функций при х 78
31. Предел функции при х и при х 81
32. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции 82
33. Бесконечно большие функции и их свойства 83
§ 6. Вычисление пределов функций при х -> оо 88
34. Вычисление предела суммы, произведения и частного 88
35. Вычисление предела отношения двух многочленов при х 90
36. Вычисление предела корня 92
37. Асимптоты 93
§ 7. Предел последовательности 96
38. Предел по множеству. Предел последовательности 96
39. Теорема о стягивающейся системе отрезков 102
40. Число е 104
§ 8. Предел функции в точке 109
41. Определение предела функции в точке 109
42. Свойства предела функции Ill
43. Предел по множеству. Односторонние пределы 114
44. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции 116
45. Бесконечные пределы. Вертикальные асимптоты 117
Глава IV. Непрерывные функции 123
§ 9. Непрерывность функции в точке 123
46. Непрерывные и разрывные процессы. Непрерывные функции 123
47. Арифметические операции над непрерывными функциями 126
48. Предел композиции функций. Непрерывность композиции функций 127
49. Свойства функций, непрерывных в точке 129
50. Точки разрыва функции 130
§ 10. Техника вычисления пределов функций 135
51. Предел непрерывной функции. Простейшие случаи раскрытия неопределенностей 135
52. Предел функции при х 0 137
53. Порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые . . 139
§ 11. Свойства непрерывных функций 143
54. Теорема о промежуточном значении 143
55. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке 147
56. Обратная функция 149
57. Обратные тригонометрические функции 152
Глава V. Показательная и логарифмическая функции 159
§ 12. Показательная и логарифмическая функции 159
58. Показательная функция на множестве рациональных чисел 159
59. Степень с иррациональным показателем 161
60. Показательная функция на множестве действительных чисел 162
61. Свойства степеней с действительными показателями 163
62. Логарифмическая функция 164
63. Гиперболические функции 167
64. Элементарные функции 169
§ 13. Пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями 172
65. Предел показательно-степенной функции 172
66. Предел lim (1 Н ) 175
67. Вычисление пределов, связанных с показательной и логарифмической функциями 177
Варианты контрольной работы 182
Ответы 186