Математический анализ, Конечномерные линейные пространства, Шилов Г.Е.

Математический анализ, Конечномерные линейные пространства, Шилов Г.Е.
   Книга представляет собой существенно переработанный вариант книги того же автора «Введение в теорию линейных пространств» (Гостехиздат, 1952 и 1956). Издание соответствует в основном программе университетского курса линейной алгебры и рассчитано в первую очередь на студентов математических, физических и других естественнонаучных специальностей. Для ее чтения необходимо, как правило, владение лишь элементарной математикой; в отдельных случаях используются сведения из математического анализа с соответствующими отсылками. В главе 1 излагается теория определителей. В главах 2—7 рассматривается аффинная теория линейных пространств (над произвольным числовым полем), в главах 8—10—теория евклидовых и унитарных пространств. В главе 11 описываются алгебры линейных операторов в конечномерных пространствах и в главе 1 2—соответствующие категории.

Методы вычисления ранга матрицы.
Для практического использования развитых в предыдущих параграфах методов решения систем линейных уравнений необходимо уметь вычислять ранг матрицы и находить ее базисный минор. Очевидно, что определение ранга матрицы, данное в 1.92, само по себе не может служить разумным способом практического вычисления ранга; например, в квадратной матрице 5-го порядка можно выделить один минор 5-го порядка, 25 миноров 4-го порядка, 100 миноров 3-го порядка и 100 миноров 2-го порядка; понятно, что если бы мы пожелали найти ранг этой матрицы с помощью прямого вычисления величины всех ее миноров, это была бы весьма трудоемкая задача.
В этом пункте будут даны простые способы подсчета ранга матрицы и определения ее базисного минора. Эти способы основаны на изучении некоторых операций со столбцами и строками матрицы, которые не изменяют ее ранга; мы будем называть эти операции элементарными операциями. Поскольку ранг матрицы, как мы уже указывали, не меняется при транспонировании, мы будем определять эти операции только для столбцов матрицы. В связи с этим при доказательствах мы будем использовать геометрическую интерпретацию матрицы с п строками и k столбцами как матрицы из координат некоторой системы k векторов xl, х2, ... , хк n-мерного пространства Rn и теорему 3.11, согласно которой ранг этой матрицы равен размерности линейной оболочки векторов х1, х2, . .. , xk.
Оглавление
Глава 1. Определители
Числовые поля
Основные задачи теории систем линейных уравнений
Определитель n-го порядка
Свойства определителей
Алгебраические дополнения и миноры
Практическое вычисление определителей
Правило Крамера
Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа
О линейной зависимости между столбцами
Глава 2. Линейные пространства
Определение
Базис, координаты, размерность
Подпространства
Линейные оболочки
Гиперплоскости
Морфизмы линейных пространств
Глава 3. Системы линейных уравнений
Еще о ранге матрицы
Нетривиальная совместность однородной линейной системы
Условие совместности общей линейной системы
Общее решение линейной системы
Геометрические свойства совокупности решений линейной системы
Методы вычисления ранга матрицы
Глава 4. Линейные функции векторного аргумента
Линейные формы
Линейные операторы и их матричная запись
Действия над линейными операторами
Соответствующие действия над матрицами
Дальнейшие свойства умножения матриц
Область значений и нуль- многообразие линейного оператора.
Линейные операторы, переводящие пространство Kn в себя
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и собственные значения
Глава 5. Преобразования координат
Формулы перехода к новому базису
Последовательные преобразования
Преобразование координат вектора при изменении базиса
Преобразование коэффициентов линейной формы
Преобразование матрицы линейного оператора
Тензоры
Глава 6. Каноническая форма матрицы линейного оператора
Каноническая форма матрицы нильпотентного оператора
Алгебры; алгебра многочленов от одного переменного
Каноническая форма матрицы произвольного оператора
Элементарные делители
Некоторые следствия
Вещественная жорданова форма
Спектры, корпусы и многочлены
Функции от оператора и их матричная запись
Глава 7. Билинейные и квадратные формы
Билинейные формы
Квадратичные формы
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Канонический базис билинейной формы
Построение канонического базиса по методу Якоби
Сопряженные линейные операторы
Изоморфизм пространств с выделенной билинейной формой
Полилинейные формы
Квадратичные и билинейные формы в вещественном пространстве
Глава 8. Евклидовы пространства
Определение евклидова пространства
Основные метрические понятия
Ортогональный базис
Задача о перпендикуляре
Общая теорема об ортогонализации
Определитель Грама
Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов
Сопряженные операторы и изометрия
Глава 9. Комплексные пространства со скалярным произведением
Эрмитовы формы
Скалярное произведение в комплексном пространстве
Нормальные операторы
Применение унитарного пространства к теории операторов в евклидовом пространстве
Глава 10. Квадратичные формы в евклидовом и унитарном пространствах
Основная теорема о квадратичных формах в евклидовом пространстве.
Экстремальные свойства дратичной формы
Задача о паре квадратичных форм
Приведение общего уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду
Геометрические свойства поверхностей 2-го порядка
Анализ поверхности по ее общему уравнению
Эрмитово-квадратичные формы
Глава 11. Конечномерные алгебры и алгебры матриц
Еще об алгебрах
Представления абстрактных алгебр
Неприводимые представления и лемма Шура
Основные типы конечномерных алгебр
Строение левого регулярного представления простой алгебры
Структура простых алгебр
Структура полупростых алгебр
Строение представлений простых и полупростых алгебр
Некоторые дальнейшие результаты
Глава 12. Категории конечномерных пространств
Случай, когда все данные алгебры
Все данные алгебры фа - одномерные
Все данные алгебры фа — простые
Все данные алгебры фа — полные алгебры диагональных матриц
Категории и прямые суммы.