Математический анализ, Функции, Пределы, Ряды, Цепные дроби, Данилов В.Л., Иванова А.Н., Исакова Е.К., 1961

Математический анализ, Функции, Пределы, Ряды, Цепные дроби, Данилов В.Л., Иванова А.Н., Исакова Е.К., 1961.
    Этой книгой открывается серия справочников по различным разделам математики. В выпусках серии лается изложение основных понятий классической и современной математики. Характер изложения конспективный; в логически связной форме разъясняются математические факты; теоремы и формулы, как правило, даются без доказательств; излагаемый материал иллюстрируется примерами, выявляющими его значение, в частности, для приложений; приводятся различные таблицы; сообщаются краткие исторические сведения. Главное внимание уделяется идейной стороне вопроса, не заслоненной излишними деталями.
Серия рассчитана на читателя, знакомого с основами математического анализа. Выпуски серии могут служить как для получения справки из знакомого читателю раздела, математики, так и, в случае надобности, для первоначального ознакомления с новым для него разделом.
Справочник предназначен для лиц, пользующихся в своей работе математическим анализом (математиков, физиков, инженеров), а также для студентов и аспирантов.
Теория иррациональных чисел.
Во второй половине XIX века в связи с критическим пересмотром основных понятий анализа появились строгие теории иррациональных чисел Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса.
Теория Дедекинда. Множество всех рациональных чисел со всеми их свойствами считается данным. Множество всех рациональных чисел разбивают на два класса А и А'. Такое разбиение называют сечением в области рациональных чисел, если выполнены условия:
а) каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств А и А',
б) каждое число а из множества А меньше каждого числа а' из множества А'.
Множество А' называется верхним классом, а множество А — нижним; сечение обозначают так: А | А'.
Сечения могут быть трех видов:
1) либо в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе А' есть наименьшее число г;
2) либо в нижнем классе А есть наибольшее число r, а в верхнем классе А' нет наименьшего;
3) либо ни в нижнем классе нет наибольшего, ни в верхнем — нет наименьшего.
В первых двух случаях говорят, что сечение производится рациональным числом r (которое является пограничным между классами А и А'), или говорят, что сечение определяет рациональное число r. В третьем случае сечение А|А' не определяет никакого рационального числа; говорят, что сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число а.
Содержание
От редакции серии выпусков «Справочной математической библиотеки
Предисловие
Глава I Числовая прямая и функции на ней
§ 1. Действительные числа и числовая прямая
1. Действительные числа
2. Числовая прямая
3. р-ичные системы
4. Множества действительных чисел
5. Ограниченные множества, верхняя и нижняя границы
6. Теория иррациональных чисел
§ 2. Функции. Последовательности
1. Функции одного переменного
2. Верхняя и нижняя границы функции
3. Четные и нечетные функции
4. Обратные функции
5. Периодические функции
6. Функциональные уравнения
7. Последовательности чисел
8. Верхняя и нижняя границы последовательности
9. Наибольший член последовательности
10. Монотонные последовательности
11. Двойные последовательности
§ 3. Предельный переход
1. Предельная точка множества
2. Предельная точка и предел последовательности
3. Основные теоремы о пределах
4. Некоторые предложения о пределах
5. Верхним и нижний пределы последовательности
6. Равномерно распределенные последовательности
7. Рекуррентные последовательности
8. Символы o(аn) и O(an).
9. Предел функции
10. Непрерывность функции справа и слева
11. Непрерывные функции. Разрывные функции
12. Последовательности функций
13. Равномерная сходимость функций
14. Сходимость в среднем
15. Символы о(х) и O(х)
16. Монотонные функции
17. Выпуклые функции
Глава II N-мерные пространства и функции в них
Введение
§ 1. n-мерные пространства
1. n-мерное координатное пространство
2. n-мерное векторное пространство
3. Скалярное произведение
4. Линейная система и ее базисы
5. Линейные функции
6. Линейная оболочка
7. Ортогональные системы векторов
8. Биортогональные системы векторов
9. Проекция вектора на многообразие
§ 2. Предельный переход, непрерывные функции и операторы
1. Предельный переход в n-мерном пространстве
2. Ряды векторов
3. Непрерывные функции n переменных
4. Периодические функции n переменных
5. Предельный переход для линейных оболочек
6. Операторы из En в Em
7. Итерационные последовательности
8. Принцип сжатых отображений
§ 3. Выпуклые тела в n-мерном пространстве
1. Основные определения
2. Выпуклые функции
3. Выпуклые тела и нормы векторов
4. Опорные гиперплоскости
5. Опорные функции и сопряженные пространства
6. Основные теоремы об опорных гиперплоскостях
7. Связь между взаимными выпуклыми телами
8. Конус. Касательный конус
9. Теорема Хелли
10. Линейные операции над множествами
Глава III Ряды
Введение
§ 1. Числовые ряды
1. Знакопостоянные и знакопеременные ряды
2. Свойства сходящихся рядов
3. Общие признаки сходимости знакоположительных рядов
4. Оценки остаточных членов, соответствующие различным признакам сходимости
5. Частные признаки сходимости знакоположительных рядов. Оценки остаточных членов
6. Сходимость знакопеременных рядов
7. Бесконечные произведения и их сходимость
8. Двойные ряды. Основные понятия и определения
9. Некоторые свойства двойных рядов
10. Некоторые признаки сходимости двойных знакоположительных рядов. Оценки остаточных членов
§ 2. Функциональные ряды
1. Основные свойства и признаки сходимости
2. Степенные ряды
3. Действия над степенными рядами. Ряд Тейлора
4. Комплексные ряды
6. Асимптотические ряды
7. Некоторые способы обобщенного суммирования расходящихся рядов
§ 3. Методы вычисления рядов
1. Элементарные приемы точного суммирования
2. Суммирование рядов с помощью функций комплексного переменного
3. Суммирование рядов с помощью преобразования -Лапласа
4. Интегральные оценки для конечных сумм и бесконечных рядов
5. Преобразование Куммера
6. Улучшение сходимости рядов, соответствующее данному признаку сходимости
7. Преобразование Абеля
8. Способ А. Н. Крылова улучшения сходимости тригонометрических рядов
9. Способ А. С. Малиева улучшения сходимости тригонометрических рядов
Глава IV Ортогональные ряды и ортогональные системы
Введение
§ 1. Ортогональные системы
1. Ортогональные системы функций, определенных в n точках
2. Ортогональные системы в Еn(х1, х2, ..., хn)
3. Наилучшее квадратическое приближение
4. Ортогональные системы тригонометрических функций
§ 2. Общие свойства ортогональных и биортогональных систем
1. Ортогональность. Скалярное (внутреннее) произведение
2. Ортогональные системы. функций Бесселя, Хаара и др
3. Линейная независимость. Процесс ортогонализации
4. Коэффициенты Фурье. Замкнутость системы
5. Ряды Фурье по тригонометрической системе
6. Биортогональные системы функций
§ 3. Ортогональные системы многочленов
1. Нули ортогональных многочленов
2. Рекуррентные соотношения для ортогональных многочленов
3. Степенные моменты. Выражение ортогональных многочленов через степенные моменты
4. Связь ортогональных многочленов с цепными дробями
5. Обращение ортогональных разложений в последова тельность аппроксимирующих дробей
6. Ортогональные многочлены и квадратурные формулы гауссовского типа
7. Замкнутость ортогональной системы многочленов
8. Формула Кристоффеля. Сходимость рядов Фурье по ортогональным многочленам
§ 4. Классические системы ортогональных многочленов
1. Дифференциальное уравнение Пирсона
2. Дифференциальное уравнение для соответствующих классов ортогональных многочленов
3. Выражение через вес многочлена n-й степени из ортогональной системы многочленов
4. Производящая функция ортогональной системы многочленов с весом Пирсона
5. Многочлены Лежандра
6. Многочлены Якоби
7. Многочлены Чебышева первого рода
8. Многочлены Чебышева второго рода
9. Многочлены Лагерра
10. Многочлены Эрмита
11. Многочлены Чебышева, ортогональные на конечной системе точек
Глава V Цепные дроби
Введение
§ 1. Цепные дроби и их основные свойства
1. Вычисление подходящих дробей
2. Преобразования цепных дробей
3. Сжатие и растяжение цепных дробей
4. Преобразование цепных дробей, вытекающее из теоремы Штольца
5. Свойства правильных цепных дробей
6. Равноценные и соответствующие цепные дроби
7. Построение соответствующих дробей. Метод Висковатова
8. Метод Аппеля
§ 2. Основные признаки сходимости цепных дробей
1. Сходимость цепных дробей
2. Необходимый и достаточный признак сходимости цепной дроби с положительными членами звеньев (признак Зейделя)
3. Достаточные признаки сходимости цепных дробей с положительными членами звеньев
4. Первая серия достаточных признаков сходимости
5. Признаки сходимости предельно-периодических цепных дробей
§ 3. Разложение некоторых функций в цепные дроби
1. Метод Лагранжа
2. Основное дифференциальное уравнение
3. Разложение степенной функции в цепную дробь
4. Разложение логарифмической функции в цепную дробь
5. Разложение показательной функции в цепную дробь
6. Разложение функции у = arctg х в цепную дробь
7. Разложение функции у = x0 dt/1+tk в цепную дробь
8. Разложение для tgx и thx в цепную дробь
9. Разложение функции Прима в цепную дробь
10. Разложение неполной гамма-функции в цепную дробь
11. Формула Тиле
12. Дробно-рациональные приближения для sin x и sh х
13. Дробно-рациональные приближения для cos х и ch х
14. Дробно-рациональное приближение для интеграла вероятности
15. Обращение ряда Стирлинга в цепную дробь
16. Дробно-рациональное приближение для гамма-функции
17. Дробно-рациональное приближение для логарифма гамма-фунйции
18. Дробно-рациональное приближение для производной логарифма гамма-функции
19. Формула Обрешкова
§ 4. Метод матриц
1. Извлечение квадратного корня с помощью матриц второго порядка
2. Решение квадратных уравнений с помощью матриц второго порядка
3. Связь метода матриц с теорией цепных дробей
4. Разложение квадратических иррациональностей в непериодические цепные дроби при помощи матриц второго порядка с переменными элементами
5. Извлечение корня любой рациональной степени и с помощью матриц
6. Решение уравнений третьей степени с помощью матриц
7. Возвратные ряды. Метод Бернулли — Эйлера
8. Связь между методом Бернулли — Эйлера и методом матриц
9. Решение уравнений высших степеней с помощью матриц
10. Понятие об алгоритме Якоби
Глава VI Некоторые системы чисел и функций
§ 1. Некоторые константы и системы чисел
1. Константы
2. Некоторые системы чисел
§ 2. Числа и многочлены Бернулли и Эйлера
1. Числа и многочлены Бернулли
2. Числа и многочлены Эйлера
§ 3. Простейшие кусочно-линейные функции и дельтообразные функции
1. Кусочно-линейные функции
2. 5(дельта)-функция
§ 4. Простейшие специальные функции
1. Эллиптические интегралы
2. Интегральные функции
3. Интеграл вероятности
4. Интегралы Френеля
5. Гамма- и бета-функции Эйлера
6. Функции Бесселя
Библиография
Указатель обозначений
Алфавитный указатель.