Математический анализ - Начальный курс с примерами и задачами - Гурова З.И. Каролинская С.Н. Осипова А.П.

Название: Математический анализ - Начальный курс с примерами и задачами. 2002.
Автор: Гурова З.И. Каролинская С.Н. Осипова А.П.
    Изложены основные сведения из начальных разделов курса математического анализа для втузов - "Введение в анализ", "Основы дифференциального исчисления функции одной переменной", "Методы интегрирования функций одной переменной", "Числовые ряды".
    Приведены краткая теория, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения. Предложены алгоритмы методов решения различных классов задач.

    Пособие может быть использовано и как учебник, и как задачник студентами технических специальностей, курсантами военных училищ, учащимися техникумов и средних школ.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора серии. 7
Предисловие 8
Глава I. Введение в анализ. 10
§ 1. Некоторые сведения из теории множеств 10
1.1. Основные понятия (10). 1.2. Операции над множествами. (10)
§ 2. Числовые последовательности. Предел последовательности. 16
2.1. Основные определения (16). 2.2. Предел последовательности (18). 2.3. Свойства сходящихся последовательностей (21). 2.4. Типовые примеры (23). 2.5. Задачи для самостоятельного решения (23).
§ 3. Функции. Предел функции 24
3.1. Основные определения. Способы задания функций (24). 3.2. Сложная, обратная и параметрически заданная функции (25). 3.3. Элементарные функции (27). 3.4. Монотонные функции (29). 3.5. Ограниченные функции (29). 3.6. Предел функции (30). 3.7. Односторонние пределы функции (36). 3.8. Типовые примеры (38). 3.9. Задачи для самостоятельного решения. (39)
§ 4. Теоремы о пределах функций. 39
4.1. Основные теоремы о пределах функций (39). 4.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства (41). 4.3. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими операциями (45). 4.4. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами (47). 4.5. Типовые примеры (50). 4.6. Задачи для самостоятельного решения (54).
§ 5. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций 54
5.1. Замечательные пределы (54). 5.2. Сравнение бесконечно малых функций (58). 5.3. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций (60). 5.4. Типовые примеры (63). 5.5. Задачи для самостоятельного решения (70).
§ 6. Непрерывность функций 71
6.1. Основные определения (71). 6.2. Свойства функций, непрерывных в точке (73). 6.3. Непрерывность функций на интервале, полуинтервале, отрезке (77). 6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке (78). 6.5. Точки разрыва функций и их классификация (78). 6.6. Типовые примеры (80). 6.7. Задачи для самостоятельного решения (85).
Глава II. Основы дифференциального исчисления функций одной переменной. 87
§ 7. Производная функции, ее свойства и приложения 87
7.1. Определение производной функции в точке (87). 7.2. Табличное дифференцирование. Производные основных элементарных функций (89). 7.3. Свойства производной (92). 7.4. Геометрический и механический смысл производной (94). 7.5. Уравнения касательной и нормали к графику функции (96). 7.6. Типовые примеры (97). 7.7. Задачи для самостоятельного решения (101).
§ 8. Дифференцирование сложной функции, обратной функции и параметрически заданной функции 102
8.1. Производная сложной функции. Логарифмическая производная (102). 8.2. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций (105). 8.3. Производная параметрически заданной функции (107). 8.4. Типовые примеры (109). 8.5. Задачи для самостоятельного решения (111).
§ 9. Дифференциал функции, его свойства и приложения .... 112
9.1. Дифференцируемость функции. Дифференциал (112). 9.2. Свойства дифференциала (114). 9.3. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление приближенных значений функций с помощью дифференциала (115). 9.4. Инвариантность формы записи дифференциала (116). 9.5. Типовые примеры (117). 9.6. Задачи для самостоятельного решения (119).
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков 120
10.1. Производные высших порядков (120). 10.2. Формула Лейбница (122). 10.3. Дифференциалы высших порядков (124). 10.4. Типовые примеры (126). 10.5. Задачи для самостоятельного решения (129).
§11. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей 130
11.1. Теорема Ролля (теорема о нуле производной) (130). 11.2. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений (131). 11.3. Теорема Коши. Обобщенная формула конечных приращений (133). 11.4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя (134). 11.5. Типовые примеры (141). 11.6. Задачи для самостоятельного решения (145).
§ 12. Формула Тейлора 146
12.1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (146). 12.2. Формула Тейлора для некоторых основных элементарных функций (150). 12.3. Различные формы остаточного члена (152). 12.4. Типовые примеры (155). 12.5. Задачи для самостоятельного решения (159).
§ 13. Возрастание, убывание, экстремум функции 160
13.1. Возрастание и убывание функции (160). 13.2. Экстремум функции (163). 13.3. Наибольшее и наименьшее значения функции (168). 13.4. Типовые примеры (172). 13.5. Задачи для самостоятельного решения (175).
§ 14. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба кривой. Асимптоты кривой 176
14.1. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба кривой (176). 14.2. Асимптоты кривой (180). 14.3. Типовые примеры (183). 14.4. Задачи для самостоятельного решения (185).
§ 15. Исследование функций и построение их графиков 186
15.1. Схема исследования функции (186). 15.2. Типовые примеры (186). 15.3. Задачи для самостоятельного решения (195).
Глава III. Методы интегрирования функций одной переменной. 196
§ 16. Первообразная функции и неопределенный интеграл. 196
16.1. Определение и свойства неопределенного интеграла (196). 16.2. Основные методы интегрирования (198). 16.3. Типовые примеры (207). 16.4. Задачи для самостоятельного решения (210).
§ 17. Интегрирование рациональных дробей. 211
17.1. Краткие сведения из алгебры многочленов (211). 17.2. Интегрирование элементарных дробей (214). 17.3. Интегрирование рациональных дробей (218). 17.4. Типовые примеры (220). 17.5. Задачи для самостоятельного решения (227).
§ 18. Интегрирование тригонометрических функций. 227
18.1. Универсальная тригонометрическая подстановка (227). 18.2. Интегрирование функций, нечетных относительно sin ж или cos ж (230). 18.3. Интегрирование функций, четных относительно sin ж и cos ж (232). 18.4. Интегрирование произведений синусов и косинусов различных аргументов (234). 18.5. Типовые примеры (235). 18.6. Задачи для самостоятельного решения (239).
§ 19. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 240
19.1. Интегрирование функций, рациональных относительно аргумента и корня из дробно-линейной функции (240). 19.2. Интегрирование функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена (241). 19.3. Типовые примеры (248). 19.4. Задачи для самостоятельного решения (258).
Глава IV. Числовые ряды. 260
§ 20. Основные определения и свойства числовых рядов. 260
20.1. Основные определения (260). 20.2. Основные свойства рядов (265). 20.3. Критерий Коши сходимости ряда (270). 20.4. Типовые примеры (271). 20.5. Задачи для самостоятельного решения (274).
§ 21. Знакопостоянные ряды. 275
21.1. Критерий сходимости знакопостоянных рядов (275). 21.2. Достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с неотрицательными членами (277). 21.3. Типовые примеры (289). 21.4. Задачи для самостоятельного решения. (297).
§ 22. Знакопеременные ряды. 298
22.1. Знакочередующиеся ряды (298). 22.2. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (302). 22.3. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов (303). 22.4. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов (305). 22.5. Типовые примеры (307). 22.6. Задачи для самостоятельного решения (312).
§ 23. Последовательности и ряды с комплексными членами 313
23.1. Краткие сведения о комплексных числах (313). 23.2. Последовательности с комплексными членами (318). 23.3. Ряды с комплексными членами (321). 23.4. Типовые примеры (324). 23.5. Задачи для самостоятельного решения. (329)
Приложение. 331
§ 24. Краткие сведения об интегралах с бесконечными пределами. 331
Ответы к задачам для самостоятельного решения. 336
Список литературы. 343
Справочный материал. 344
Предметный указатель.
Некоторые определения:
Графическим называется способ задания функции, при котором соответствие между множеством значений аргумента и множеством значений функции устанавливается графически.
Например, барограмма, записанная барографом, задает графически атмосферное давление как функцию времени.
Способ задания функции называется табличным, если задана таблица значений аргумента и соответствующих значений функции.
Например, зависимость температуры воздуха от времени может быть задана с помощью таблицы экспериментальных данных.
Кроме указанных способов задания функции, существуют и другие. Например, при проведении численных расчетов па компьютерах функции задаются алгоритмическим способом, т. е. с помощью программы вычисления их значений при требуемых значениях аргумента. Функцию можно задать также и словесным описанием соответствия между значениями аргумента и значениями функции. Например, «каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному 0...». Определенная таким образом функция называется функцией Дирихле.