Математические модели, Теоретическая физика и анализ сложных систем, От нелинейных колебаний до искусственных нейронов и сложных систем, Головинский П.А., 2012

Математические модели, Теоретическая физика и анализ сложных систем, От нелинейных колебаний до искусственных нейронов и сложных систем, Головинский П.А., 2012.
  В настоящей монографии изложены важнейшие математические модели материальных точек, линейного поля, нелинейных колебаний и структур, а также статистики и иерархии сложных систем. Общие модели строятся на базе конкретных научных и технических задач. Особенность монографии состоит в максимально быстром переходе к приложениям. Для удобства читателей материал излагается в двух фактически независимых частях. Данная книга, представляющая собой вторую часть монографии, посвящена моделям нелинейных и сложных систем и состоит из двух разделов.
Монография предназначена для студентов и аспирантов технических ВУЗов, а также для специалистов в области прикладной математики, физики и математического моделирования.

Автомодельные режимы.
Нестационарная волна разрежения. Формирование и распространение нелинейных волн представляет собой столь сложный процесс, что полное решение соответствующих задач зачастую оказывается невозможным. Здесь на помощь приходит анализ размерности, который позволяет в ряде случаев получить при помощи стандартной методики точные частные решения сложных уравнений математической физики. Этот подход, основанный на введении новых безразмерных переменных, называется автомодельным методом, а соответствующие режимы называются автомодельными.
Рассмотрим класс нестационарных движений сжимаемого газа, к которому относятся течения в условиях, когда они характеризуются единственным параметром — скоростью. Примером такого движения является движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, когда поршень двигается с постоянной скоростью. Кроме скорости движение газа зависит от его давления и плотности в начальный момент времени, однако эти величины не образуют комбинации с размерностью времени. Таким образом, распределение всех величин может зависеть только от отношения координаты х ко времени t. Иными словами, эти распределения будут подобны друг другу, меняясь с течением времени в масштабе изменения времени.
Оглавление
Введение
Нелинейные колебания и волны
Глава 1. Усреднение
Автоколебания
Движение под действием быстропеременной силы.
Маятник Капицы
Глава 2. Структура фазовых траекторий
Траектории и фазовый поток
Классификация особых точек
Предельные циклы
Индексы Пуанкаре
Глава 3. Устойчивость динамических систем
Виды устойчивости
Локальный критерий устойчивости
Глобальная устойчивость и функции Ляпунова
Бифуркации
Тангенциальная бифуркация
Смена устойчивости
Бифуркация удвоения (типа "вилка")
Глава 4. Химические и биохимические процессы
Химическая кинетика
Хиральность биохимических систем
Глава 5. Борьба за существование
Модель Лотки—Вольтерра
Модель брюсселятора
Глава 6. Бегущие волны
Простейшие нелинейные волны
Опрокидывание волн
Уравнение Бюргерса
Глава 7. Волны на мелкой воде
Уравнение Кортевега—де Вриза
Солитоны
Уравнение КдВ и вариационный принцип
Глава 8. Движение дислокаций
Описание движения дислокаций
Континуальное приближение
Глава 9. Метод обратной задачи
Стационарное уравнение Шредингера
Обратная задача рассеяния
Глава 10. Взаимодействие волн
Метод медленно меняющихся амплитуд
Генерация гармоник
Глава 11. Нелинейная квазиоптика
Уравнение пучка с самовоздействием
Стационарные волны
Самофокусировка и самоканализация волн
Глава 12. Автомодельные режимы
Нестационарная волна разрежения
Точечный взрыв
Тепловая стадия ядерного взрыва
Глава 13. Устойчивость
Неустойчивость течения жидкости
Абсолютная и конвективная неустойчивость
Глава 14. Турбулентность и странные аттракторы
Модель Лоренца
Аттракторы
Последовательность бифуркаций
Метод сложения импульсов для расчета потоков.
Сложные и иерархические системы
Глава 15. Вероятность и распределения
Понятие вероятности
Случайные величины
Математическое ожидание
Производящие функции
Зависимость случайных величин
Регрессия
Метод наименьших квадратов
Общие требования при регрессионном анализе
Глава 16. Энтропия и информация
Информация
Энтропия
Теоремы Шеннона
Глава 17. Марковские процессы
Случайные процессы и диффузия
Кинетическое уравнение
Мера Винера
Глава 18. Системы массового обслуживания
Потоки в системах обслуживания
Марковские процессы обслуживания
Стационарный режим обслуживания
Глава 19. Случайные блуждания
Уравнение Ланжевена
Броуновское движение
Задача о первом достижении границ
Уравнение Фоккера—Планка многомерной задачи.
Броуновское движение гармонического осциллятора.
Броуновское движение при фазовых переходах
Стохастический интеграл
Глава 20. Шумы в линейных системах
Эргодичность
Математическое описание линейных систем
Отклик линейной системы на шумовое воздействие
Глава 21. Случайные процессы и поля
Стационарный случайный процесс
Дробовой шум
Обнаружение сигнала на фоне шума
Уравнение Винера—Хопфа
Случайное поле
Моменты
Спектральные разложения
Дифракция случайной волны
Глава 22. Фракталы и разрушение
Размерность Хаусдорфа
Определение фрактала
Связь с ренормализационной группой
Фрактальная гриффитсова трещина
Глава 23. Графы и сети
Общие свойства графов
Пути и связность в графе
Деревья
Задача построения минимального остова (порождающего дерева)
Задача о кратчайшем маршруте между выбранными вершинами
Максимальные потоки в сетях
О реализации сетей в трехмерном пространстве
Феномен «тесного мира»
Глава 24. Нейронные сети
Искусственные нейроны
Сети прямого распространения
Приближение функций
Глава 25. Ассоциативная память
Сеть Хопфилда
Обучение сети
Функционирование сети
Энергетическая интерпретация
Гетероассоциативные сети Коско
Симметрия при распознавании образов
Глава 26. Автоматы
Автоматные модели
Задание автоматов
Представление автоматов
Глава 27. Квантовый поиск
Квантовый нейрон
Принцип распознавания
Подготовка данных
Глава 28. Генетический алгоритм
Генетические понятия
Популяции и хромосомы
Эволюция
Кроссинговер
Отбор
Глава 29. Нечеткие множества и рассуждения
Нечеткие множества
Основные характеристики нечетких множеств
Операции над нечеткими множествами
Логические операции над нечеткими множествами
Нечеткие и лингвистические переменные
Нечеткие правила вывода
Модель нечеткого вывода
Фаззификация и дефаззификация
Модель Мамдани—Заде как универсальный аппроксиматор
Глава 30. Игры
Конфликты как игры
Основное неравенство и игра с седловой точкой
Игры с вероятностным выбором стратегии
Связь с линейным программированием
Выбор стратегии
Заключение
Литература
Предметный указатель.