Математические модели, Теоретическая физика и анализ сложных систем, От формализма классической механики до квантовой интерференции, Головинский П.А., 2012

Математические модели, Теоретическая физика и анализ сложных систем, От формализма классической механики до квантовой интерференции, Головинский П.А., 2012.
  В настоящей монографии изложены важнейшие математические модели материальных точек, линейного поля, нелинейных колебаний и структур, а также статистики и иерархии сложных систем. Общие модели строятся на базе конкретных научных и технических задач. Особенность монографии состоит в максимально быстром переходе к приложениям. Для удобства читателей материал излагается в двух фактически независимых частях. Данная книга, представляющая собой вторую часть монографии, посвящена моделям нелинейных и сложных систем и состоит из двух разделов.
Монография предназначена для студентов и аспирантов технических ВУЗов, а также для специалистов в области прикладной математики, физики и математического моделирования.

Колебания симметричных систем.
Точечные группы. Для того чтобы продемонстрировать работу методов, изложенных в предыдущей лекции, рассмотрим конкретные примеры, в том числе колебания молекул и одномерных кристаллов. Особенностью этих систем является наличие в них различного рода симметрий. Энергия такой системы не меняется при определенных пространственных преобразованиях, например в симметричной молекуле при отражении относительно плоскости симметрии. Это позволяет отнести такие состояния к определенной группе симметрии — группе преобразований, оставляющих энергию системы неизменной.
Отсюда ясно, что для анализа подобных систем может оказаться полезной теория групп. Особенностью преобразований, которые мы будем рассматривать, является то, что все они оставляют неподвижной по крайней мере одну точку тела, поскольку в противном случае тело будет испытывать некоторое поступательное движение и это не позволит совместить элементы с исходными после преобразования симметрии. Группы симметрии, обладающие указанным свойством, называются точечными группами.
Оглавление
Предисловие
Материальные точки
Глава 1. Пространство классической механики и движение
Евклидово пространство
Векторы в евклидовом пространстве
Скалярное и векторное поля на многообразии
Тензоры в евклидовом пространстве
Уравнение Ньютона
Глава 2. Группы движений и подобие
Группы
Группы вращений ( O(2), O(3) )
Галилеева группа и уравнения Ньютона
Подобие
Степенной характер формул размерности
Глава 3. Вариационный принцип и механика Лагранжа
Вариационное исчисление
Уравнение Эйлера—Лагранжа
Конфигурационное пространство
Теорема Нетер
Глава 4. Оптимальное управление динамическими системами
Задачи оптимального управления
Динамическое программирование
Принцип максимума Понтрягина
Глава 5. Линейные колебания
Одномерное движение
Свободные колебания
Осциллятор в среде с линейным трением
Глава 6. Колебания систем со многими степенями свободы
Уравнения движения
Линейные операторы
Нормальные моды
Диагонализация матриц
Глава 7. Колебания симметричных систем
Точечные группы
Представления групп
Координаты симметрии
Колебания молекулы воды
Колебания цепочки атомов
Глава 8. Вынужденные колебания
Уравнение вынужденных колебаний
Обобщенные функции
Функция Грина
Формула Коши
Глава 9. Движение в вязкой среде и преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа
Операторный метод
Модели упруго-пластичной среды
Дробная производная
Глава 10. Маятник с медленно меняющимся подвесом
Метод ВКБ
Асимптотические представления
Метод эталонного уравнения Лангера
Глава 11. Равновесие
Равновесие
Развертки
Ростки и функции катастроф
Геометрия складки и сборки
Глава 12. Применение теории катастроф
Потенциальный подход к конструкциям
Модель Огусти
Модель арки
Глава 13. Движение частицы по поверхности
Координаты на поверхности
Векторные и тензорные поля на многообразии
Метрика на поверхности
Геодезические линии
Глава 14. Искривленное пространство
Кривизна
Параллельный перенос векторов
Смачивание пористых систем
Линейные поля и волны
Глава 15. Сплошная среда
Колебания одномерной цепочки
Пилообразные колебания
Колебания прямоугольной мембраны
Колебания круглой мембраны
Глава 16. Напряжения в твердом теле
Тензор деформации
Тензор напряжений
Теорема Гаусса—Остроградского
Уравнение движения деформируемого тела
Глава 17. Равновесие упругой среды
Уравнение равновесия упругой среды
Уравнение Пуассона
Статическая деформация упругой среды
Глава 18. Волны в упругой среде
Продольные и поперечные волны
Звуковые волны в жидкости и газе
Плоские волны
Глава 19. Движение жидкости
Уравнение динамики вязкой жидкости
Гравитационные волны на глубокой воде
Внутренние гравитационные волны при наличии скачка плотности
Глава 20. Электромагнитное поле
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Дифференциальная форма уравнений Максвелла
Дифференциальные формы и цепи
Глава 21. Колебания балки
Постановка задачи
Собственные функции
Решение методом Фурье
Возбуждение резонансных колебаний
Глава 22. Излучение волн
Потенциалы
Волны при наличии источников
Принцип Гюйгенса и формула Кирхгофа
Глава 23. Волновые пучки
Параболические пучки
Гауссов пучок
Поток энергии и фокусировка
Глава 24. Геометрическая оптика
Приближение эйконала
Метод характеристик
Поле вблизи каустики
Метод перевала
Глава 25. Вейвлеты
Всплески как полный набор ортогональных функций.
Базисные функции всплесков
Свойства всплеск-преобразования
Непрерывные вейвлет-преобразования
Глава 26. Дифракция импульсов
Прохождение импульса через квадратное отверстие
Функция Грина в задаче дифракции
Нестационарный принцип Гюйгенса—Френеля
Глава 27. Дисперсия и поглощение волн
Приближение параболического уравнения
Автомодельное решение параболического уравнения.
Распространение волн при слабой дисперсии
Глава 28. Квантовые системы
Квантовые состояния
Уравнение Шредингера
Правила Фейнмана
Действительная форма записи уравнения Шредингера.
Стационарные состояния
Оператор Гамильтона
Матричные элементы высоковозбужденных состояний.
Глава 29. Оптимальное управление квантовыми системами
Задача квантового управления
Принцип максимума
Формирование волнового пакета
Глава 30. Квантовая интерференция
Принцип Гюйгенса для волновых полей
Пропагатор
Функциональное исчисление
Квантовая телепортация
Литература
Предметный указатель.