LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002
LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002.
Задача №5. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алеше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались. [6 баллов] (А. Чеботарёв)
Решение. Вот пример такого вопроса: «Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алёши Поповича?»
Если у Ильи Муромца две золотые монеты, он скажет «да», поскольку у Алёши Поповича не может быть больше одной золотой монеты.
Если обе монеты Ильи серебряные, то у Алёши хотя бы одна золотая, и Илья Муромец ответит «нет».
Ну а если ему достались разные монеты, то он ответит «не знаю», так как у Алёши может оказаться как две золотые, так и две серебряные монеты.
Конечно, можно было задать и другие вопросы, например:
— Правда ли, что одному из двух других богатырей достались две серебряные монеты?
— Верно ли, что два других богатыря получили хотя бы по одной золотой монете каждый?
— Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо нее золотую, станет ли у тебя больше золотых?
(Заметьте, что в последнем вопросе не упоминаются монеты двух других богатырей, а только монеты, доставшиеся Илье Муромцу!)
Задача №6. В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера спорта а) 7 участников [4 балла]; б) 8 участников [6 баллов]? (Е. Иванова)
Решение. Докажем от противного, что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть их было 8. Тогда каждый набрал не менее 0,7-11 = 7,7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не менее 8 * 8 = 64 очков. При этом в партиях с участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4 очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4 • 8 = 32 очков.
Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях между собой не менее 32 очков.
Подсчитаем, сколько партий сыграли между собой эти 8 мастеров. Если мы будем результаты партии записывать в таблицу 8x8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не играется) и на каждую партию будет выделено по две клетки: в строке одного из игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет 28. В каждой партии разыгрывается одно очко, поэтому в этих партиях мастера в сумме наберут ровно 28 очков, что меньше 32. Противоречие.
| Рейтинг: | 4.8 баллов / 2537 оценок |
| Формат: | Книга |
| Уже скачали: | 12745 раз |
Похожие Книги
Нам показалось, что Книги ниже Вас заинтересуют не меньше. Эти издания Вы так же можете скачивать и читать совершенно бесплатно на сайте!
-
Открытки начала 20-го века
Название: Открытки начала 20-го векаАвтор: коллективИздательство: Ришар, Литография Р. Рейтцберг, Литография А.Ильина и др.Год издания: начало 20-го векаФормат: JPEGЯзык: русскийCтраниц: Количество: 6 . . .
-
Алгебра и начала анализа 10-11 кл. (контрольные работы)
Авторы: А.Г. Мордкович, Е.Е. ТульчинскаяНазвание: Алгебра и начала анализа 10-11 кл. (контрольные работы).Издательство: МнемозинаГод: 2003Формат: pdfРазмер: 12,7 МБ Пособие содержит примерное поурочно . . .
-
WordPress 3 for Business Bloggers (2011) PDF
Название книги: WordPress 3 for Business Bloggers Автор книги: Paul Thewlis Издательство: Packt Publishing Год издания книги: 2011ISBN: 978-1-84951-132-2 Страниц: 346 Формат книги: PDF Размер фа . . .
-
Рыженко В.И. - Установка окон и уход за ними: Остекление, ремонт, защита (2007)
Неправильно установленные окна приводят как к сквознякам, так и к потере тепла. Вы решите эти проблемы, если ознакомитесь со сведениями в данной книге.Информация о Книге:Название:: Установка окон и ух . . .
-
И. А. Карышева - Старинное описание цивилизаций Солнечной системы (2011)
Конечно, существуют очень большие трудности, поскольку все, что касается русской культуры, беспощадно уничтожалось и уничтожается. И люди вынуждены довольствоваться новоделами, думая, что наши предки . . .
-
Алексей Навальный - Гроза жуликов и воров (2011)
6 декабря 2011 года Навальный был приговорен к 15 суткам ареста за неповиновение представителям власти. Кто такой Алексей Навальный? Его не показывают по телевизору, о нем не пишет газета "Твой день" . . .
-
Пробуждение тигра - исцеление травмы
Название: Пробуждение тигра - исцеление травмыАвтор: Питер А. Левин, Энн ФредерикИздательство: АСТГод: 2007Страниц: 316ISBN: 978-5-17-045796-0Формат: RTFРазмер: 7,16 МБЯзык: РусскийКачество: Отличное . . .
-
Последние времена
Название: Последние временаАвтор: Кэрролл ЛиИздательство: СофияISBN: 5-9550-0066-6Год издания: 2007Страниц: 97Язык: РусскийФормат: DOCРазмер: 1.25 МбЭта небольшая книжка может изменить вашу жизнь, е . . .
-
Техника одушевления предметов. Книга II
Название: Техника одушевления предметов. Книга IIАвтор: Верищагин Д.С.Издательство: Невский проспектISBN: 5-8378-0146-4Год издания: 2006Страниц: 70Язык: РусскийФормат: DOCРазмер: 1.43 МбСистема навы . . .
-
Путь Феникса. Тайны забытой цивилизации
Название: Путь Феникса. Тайны забытой цивилизацииАвтор: Алан ЭлфордСерия: Великие тайныИздательство: ВечеГод: 2007Страниц: 432ISBN: 978-5-9533-1768-9, 5-9533-1768-9Формат: PDFРазмер: 24,6 МБЯзык: Русс . . .
Вы не зарегистрированы!
Если вы хотите скачивать книги, журналы и аудиокниги бесплатно, без рекламы и без смс, оставлять комментарии и отзывы, учавствовать в различных интересных мероприятиях, получать скидки в книжных магазинах и многое другое, то Вам необходимо зарегистрироваться в нашей Электронной Библиотеке.
Отзывы читателей
Ой!
К сожалению, в нашей Бесплатной Библиотеке пока нет отзывов о Книге LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002. Помогите нам и другим читателям окунуться в сюжет Книги и узнать Ваше мнение. Оставьте свой отзыв или обзор сейчас, это займет у Вас всего-лишь несколько минут.