LXV Московская математическая олимпиада, 2002
LXV Московская математическая олимпиада, 2002.
10 класс
1. Тангенсы углов треугольника — натуральные числа. Чему они могут быть равны? (А. Заславский)
2. Про положительные числа а, Ь, с известно, что. Докажите, что a + b + c ЗаЬс. (С. Злобин)
3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки Е и F являются серединами сторон ВС и CD соответственно. Отрезки АЕ, AF и EF делят четырёхугольник на 4 треугольника, площади которых равны последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD? (С. Шестаков)
4. Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он сможет рассадить всех на свои места? (А. Шаповалов)
5. В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов.
Решение 2. Опишем эту игру по-другому. Есть два ряда по 65 точек в каждом (точки одного ряда обозначают горизонтали доски, точки другого — вертикали).
Постановке шашки на пересечение горизонтали и вертикали соответствует проведение отрезка, соединяющего точки, которые обозначают эти горизонталь и вертикаль. Таким образом, правила запрещают проводить из одной точки больше двух отрезков.
Второй игрок должен играть (за исключением последнего хода) так, чтобы после каждого его хода проведённые отрезки образовывали незамкнутую ломаную (возможно самопересекающуюся). Тогда после А-го хода второго игрока ломаная будет состоять из 2к звеньев и проходить через 2к + 1 точку (к точек одного ряда и к + 1 — другого). Поэтому первые 64 хода второй игрок всегда сможет продолжить ломаную или соединить её с отдельным отрезком, проведённым первым на предыдущем ходе. Последним, 65-м ходом, второй игрок должен соединить отрезком начало и конец ломаной, превращая её в замкнутую ломаную, проходящую через все 130 точек. После этого первый игрок не сможет сделать ход.
| Рейтинг: | 4.8 баллов / 2537 оценок |
| Формат: | Книга |
| Уже скачали: | 12771 раз |
Похожие Книги
Нам показалось, что Книги ниже Вас заинтересуют не меньше. Эти издания Вы так же можете скачивать и читать совершенно бесплатно на сайте!
-
Вокруг света № 1-12 1977
Название: Вокруг света №1-12 1977Издательство: Молодая гвардияГод издания: 1977Номер: №1-12Язык: русскийCтраниц: 1000Формат: программа для djvuРазмер: 82,5 МБОписание: Журнал «Вокруг cвета» - научно-п . . .
-
Каталог кузовных деталей автомобилей ГАЗ 31029 "Волга"
Автор: Н.А.КолчинНазвание: Каталог кузовных деталей автомобилей ГАЗ 31029 "Волга"Издательство: ГАЗАВТОТЕХОБСЛУЖИВАНИЕГод: 1994Формат: DJVUСтраниц: 106Размер: 1.8 МбКаталог содержит развернутые специфи . . .
-
C. Johnson. Intelligent Business Pre-Intermediate (с аудиоприложением)
Intelligent Business – новый профессиональный курс делового английского языка, направленный на развитие у обучающихся знаний и навыков работы в мире бизнеса. Уровень: Pre-IntermediateВ архиве предст . . .
-
Modelismo ferroviario Paso a paso 23
Название: Modelismo ferroviario Paso a paso 23Издательство: Ediciones Nueva LenteГод / месяц: не определенНомер: 23Серия: Modelismo ferroviario Paso a pasoЯзык: испанскийКоличество страниц: 21Формат: . . .
-
Андреев Николай - Переворот
Они были мертвы – но вернулись к жизни. Они убивали – и будут убивать вновь. Но теперь они служат не мелким земным князькам, а всесильной сверхцивилизации. Они покоряют неизвестные миры, населенные чу . . .
-
Сад, огород – кормилец и лекарь №1 2012.
Название: Сад, огород – кормилец и лекарь №1 2012 Автор: коллектив Серия или выпуск: 1 Издательство: ООО "Юнисервиспресс" Год издания: 2012 Страниц: 36 Язык: Русский Формат: pdf Качество: хорошее Ра . . .
-
Монтаж пола из фанеры (2010) DVDRip
В сюжете идет рассказ как провести монтаж пола из фанеры. Вначале нужно сделать замеры помещения, где будет укладываться пол из фанеры. После чего, нарезать лаги для создания каркаса пола. Лаги необх . . .
-
Пчела дизайн №3 2011
Автор:КоллективНазвание: Пчела дизайн №3 2011Издательство: СилуэтГод/месяц: 2011 / мартФормат: PDFРазмер: 94МВСтраниц:88Язык: РусскийЕжемесячный журнал по всем направлениям дизайна, архитектурного с . . .
-
Сатипаттхана. Опыт внимательности
Сашташтхана — особая техника медитации, впервые предложенная Буддой и возрожденная в Бирме буддийским мона- хомМахаси Саядо, руководителем центра в Рангуне, где она преподается монахам и мирянам. Техн . . .
-
Джордан Николь - Уроки обольщения
Могла ли самая добродетельная из светских дам Лондона, молодая вдова Ванесса Уиндем думать, что однажды обстоятельства вынудят ее стать любовницей самого циничного повесы Англии?Мог ли Дамиен Синклер, . . .
Вы не зарегистрированы!
Если вы хотите скачивать книги, журналы и аудиокниги бесплатно, без рекламы и без смс, оставлять комментарии и отзывы, учавствовать в различных интересных мероприятиях, получать скидки в книжных магазинах и многое другое, то Вам необходимо зарегистрироваться в нашей Электронной Библиотеке.
Отзывы читателей
Ой!
К сожалению, в нашей Бесплатной Библиотеке пока нет отзывов о Книге LXV Московская математическая олимпиада, 2002. Помогите нам и другим читателям окунуться в сюжет Книги и узнать Ваше мнение. Оставьте свой отзыв или обзор сейчас, это займет у Вас всего-лишь несколько минут.