Линейная алгебра в примерах и задачах, Бортаковский А.С., Пантелеев А.В., 2005

Линейная алгебра в примерах и задачах, Бортаковский А.С., Пантелеев А.В., 2005.
  Изложены основные понятия, теоремы и методы решения задач по всем разделам курса: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, функциональные матрицы и функции векторного аргумента, многочленные матрицы н функции от матриц, линейные пространства и линейные отображения, численные методы.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения с ответами.
Для студентов технических ВУЗов.

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
Понятие множества, элемента и принадлежности элемента множеству являются первичными (неопределяемыми через другие) понятиями математики. Для интуитивного понимания множества достаточно считать, что множество - это совокупность определенных и различимых между собой объектов (элементов), мыслимая как единое целое (Г. Кантор).
Множества принято обозначать прописными буквами А, В, С,... и т.п., а их элементы - строчными буквами а, b, с.. и т.п. Если а является элементом множества А, то пишут а € А (читается: а принадлежит множеству А ). Если же а не принадлежит множеству А , то пишут a € А .
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство А = В означает, что одно и то же множество обозначено разными буквами А и В .
Множества могут быть заданы перечислением своих элементов. При этом составляющие множество элементы указываются в фигурных скобках. Например, запись А = {а, b, с} означает, что множество А состоит из элементов а, b, с. Порядок, в котором перечисляются элементы множества, не играет никакой роли, например, {а, b, с} = {с, а, b} = {b, а, с}.
Оглавление
Предисловие
Введение
В.1. Множества и операции над ними
В.2. Основные алгебраические структуры
В.2.1. Арифметические операции и их свойства
В.2.2. Бинарные операции и их свойства
В.2.3. Группы, кольца, поля
В.З. Поле комплексных чисел
В.4. Кольцо многочленов
В.5. Аксиоматические построения и логические рассуждения
Глава 1. Матрицы и действия над ними
1.1. Числовые матрицы
1.2. Линейные операции над матрицами
1.2.1. Сложение матриц
1.2.2. Умножение матрицы на число
1.3. Умножение матриц
1.3.1. Определение произведения матриц
1.3.2. Свойства умножения матриц
1.3.3. Умножение матриц на столбцы и строки единичной матрицы
1.3.4. Степень матрицы
1.4. Транспонирование и сопряжение матриц
1.4.1. Транспонирование матриц
1.4.2. Сопряжение матриц
1.4.3. След матрицы
1.5. Блочные (клеточные) матрицы
1.5.1. Блочные матрицы и операции над ними
1.5.2. Кронекеровские произведение и сумма матриц
1.6. Элементарные преобразования матриц
1.6.1. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
1.6.2. Элементарные преобразования как умножения матриц
1.6.3. Нахождение элементарных преобразующих матриц
Глава 2. Определители
2.1. Индуктивное определение
2.2. Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)
2.3. Свойства определителей
2.3.1. Основные свойства определителей
2.3.2. Формула полного разложения определителя
2.3.3. Формула Лапласа
2.3.4. Определитель произведения матриц
2.4. Методы вычисления определителей
2.4.1. Применение элементарных преобразований
2.4.2. Метод рекуррентных уравнений
Глава 3. Ранг матрицы
3.1. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
3.2. Ранг матрицы
3.2.1. Базисный минор матрицы
3.2.2. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы
3.3. Методы вычисления ранга матрицы
3.3.1. Метод окаймляющих миноров
3.3.2. Метод Гаусса
3.4. Ранг системы столбцов (строк)
Глава 4. Обратная матрица
4.1. Определение, существование и единственность обратной матрицы
4.2. Свойства обратной матрицы
4.3. Способы нахождения обратной матрицы
4.4. Матричные уравнения
4.5. Полуобратная и псевдообратная матрицы
4.5.1. Односторонние обратные матрицы
4.5.2. Полуобратная матрица
4.5.3. Псевдообратная матрица
Глава 5. Системы линейных алгебраических уравнений
5.1. Основные понятия и определения
5.2. Правило Крамера
5.3. Условие совместности системы линейных уравнений
5.4. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
5.5. Структура общего решения однородной системы
5.6. Структура общего решения неоднородной системы
5.7. Применение полуобратных матриц
5.8. Псевдорешения системы линейных уравнений
Глава 6. Функциональные матрицы и функции векторного аргумента
6.1. Функциональные матрицы скалярного аргумента
6.2. Производные скалярной функции по векторному аргументу.
6.3. Производные векторной функции по векторному аргументу
6.4. Производные матричной функции по векторному аргументу
6.5. Линейные и квадратичные формы
6.5.1. Преобразования форм при линейной замене переменных
6.5.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
6.5.3. Закон инерции вещественных квадратичных форм
6.5.4. Знакоопределенность вещественных квадратичных форм
6.5.5. Применение форм к исследованию функций на экстремум
Глава 7. Многочленные матрицы и функции от матриц
7.1. Многочленные матрицы (X -матрицы)
7.1.1. Определение многочленных матриц (X-матриц)
7.1.2. Операции над л-матрицами
7.1.3. Элементарные преобразования л-матриц
7.1.4. Инвариантные множители л-матрицы
7.2. Характеристические матрицы и многочлены
7.2.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы
7.2.2. Подобие числовых матриц
7.2.3. Характеристический многочлен матрицы
7.2.4. Теорема Гамильтона - Кэли. Минимальный многочлен матрицы -
7.3. Жорданова форма матрицы
7.3.1. Элементарные делители матрицы
7.3.2. Жордановы клетки и матрицы
7.3.3. Приведение матрицы к жордановой форме
7.3.4. Многочлены от матриц
7.3.5. Применение многочленов от матриц для решения систем линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами
7.4. Функции от матриц
7.4.1. Функции, определенные на спектре матрицы
7.4.2. Определение и свойства функций от матриц
7.4.3. Способы нахождения функций от матриц
7.4.4. Свойства функций от матриц
7.4.5. Применение функций от матриц для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Глава 8. Линейные пространства
8.1. Определение и примеры линейных пространств
8.1.1. Аксиомы линейного пространства
8.1.2. Простейшие следствия аксиом
8.1.3. Примеры линейных пространств
8.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
8.2.1. Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов
8.2.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
8.2.3. Аффинные, неотрицательные и выпуклые комбинации векторов
8.3. Размерность и базис линейного пространства
8.3.1. Определения размерности и базиса
8.3.2. Примеры базисов линейных пространств
8.4. Координата и преобразования координат
8.4.1. Координаты векторов в данном базисе
8.4.2. Линейные операции в координатной форме
8.4.3. Преобразование координат вектора при замене базиса
8.4.4. Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому.
8.5. Изоморфизм линейных пространств
8.6. Подпространства линейного пространства
8.6.1. Определение линейного подпространства
8.6.2. Примеры линейных подпространств
8.6.3. Пересечение и сумма подпространств
8.6.4. Прямая сумма подпространств
8.6.5. Способы описания подпространств
8.7. Линейные многообразия
8.7.1. Определение линейного многообразия
8.7.2. Свойства линейных многообразий
8.7.3. Способы описания линейных многообразий
8.8. Евклидовы пространства
8.8.1. Определение евклидова пространства
8.8.2. Примеры евклидовых пространств
8.8.3. Длина вектора. Угол между векторами
8.8.4. Ортогональные векторы и их свойства
8.8.5. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта
8.8.6. Ортогональный и ортонормированный базисы
8.8.7. Ортогональные дополнения
8.8.8. Задача о перпендикуляре
8.8.9. Унитарные пространства
Глава 9. Линейные отображения и операторы
9.1. Линейные отображения
9.1.1. Определение линейных отображений
9.1.2. Примеры линейных отображений
9.1.3. Свойства линейных отображений
9.1.4. Матрица линейного отображения
9.1.5. Ядро и образ линейного отображения
9.2. Линейные преобразования (операторы)
9.2.1. Определение и примеры линейных преобразований
9.2.2. Матрицы линейного преобразования в разных базисах
9.2.3. Алгебра линейных операторов
9.3. Инвариантные подпространства
9.3.1. Определение и примеры инвариантных подпространств
9.3.2. Свойства инвариантных подпространств
9.4. Собственные векторы линейного преобразования
9.4.1. Собственные векторы и собственные значения
9.4.2. Примеры собственных векторов
9.4.3. Свойства собственных векторов
9.5. Канонический вид линейного преобразования
9.5.1. Приведение линейного преобразования к диагональному виду
9.5.2. Приведение линейного преобразования к каноническому виду
9.6. Линейные преобразования евклидовых пространств
9.6.1. Ортогональные преобразования
9.6.2. Сопряженные преобразования
9.6.3. Самосопряженные преобразования
9.6.4. Приведение квадратичной формы к главным осям
9.6.5. Линейные преобразования унитарных пространств
Глава 10. Численные методы линейной алгебры
10.1. Основные положения. Нормы матриц
10.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
10.2.1. Численные схемы реализации метода Гаусса
10.2.2. Метод прогонки
10.2.3. Метод LU -разложения
10.2.4. Метод квадратных корней
10.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
10.3.1. Метод простых итераций
10.3.2. Метод Зейделя
10.4. Итерационный метод Шульца нахождения обратной матрицы
10.5. Методы решения задач о собственных значениях и собственных векторах матрицы
10.5.1. Метод итераций
10.5.2. Метод вращений.